東京大学 理系 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

 複素数平面上の原点以外の点 z に対して、 $w=\dfrac{1}{z}$ とする。

(1) $\alpha$ を $0$ でない複素数とし、点 $\alpha$ と原点 O を結ぶ線分の垂直二等分線を L とする。点 z が直線 L 上を動くとき、点 w の軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。

(2) $1$ の3乗根のうち、虚部が正であるものを $\beta$ とする。点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分上を点 z が動くときの点 w の軌跡を求め、複素数平面上に図示せよ。

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考え方

(1)はほとんど答えが書かれています。垂直二等分線を式で表して考えましょう。実部・虚部と分けるのではなく、複素数の絶対値のまま考えていくほうがいいでしょう。

(2)は(1)から円の一部になることはすぐにわかります。線分の上だけしか移動しないことを言いかえれば、求める軌跡が得られます。