東京大学 理系 2016年度 第5問 解説

問題編

【問題】
kを正の整数とし、10進法で表された小数点以下k桁の実数
\[0.a_1a_2\cdots a_k = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots \frac{a_k}{10^k}\]を1つとる。ここで、$a_1,a_2,\cdots ,a_k$は0から9までの整数で、$a_k\ne 0$とする。

(1) 次の不等式を満たす正の整数nをすべて求めよ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{n}-10^k \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \] (2) pが$5 \cdot 10^{k-1}$以上の整数ならば、次の不等式をみたす正の整数mが存在することを示せ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \] (3) 実数xに対し、$r\leqq x \lt r+1$をみたす整数rを$\lbrack x \rbrack$で表す。$\sqrt{s}-\lbrack \sqrt{s} \rbrack=0.a_1a_2\cdots a_k$をみたす正の整数sは存在しないことを示せ。

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【考え方】
もう見るだけで嫌になりそうな問題ですが、「ルートを消したい」という気持ちで変形していけば、(1)は解けます。この小数の表記が何を意味しているか考えながら変形していくと、条件をみたす整数を直接書き表すことができます。

(2)も、「ルートを消す」方向で変形していけば解けます。(1)とほぼ同じ流れで解けます。

(3)も(2)のヒントになっていると思わせておいて、全然違う問題です。よく見ると、$\sqrt{s}$は有理数ということがわかるので、条件式を満たすsが存在しないことも簡単に示せます。

見た目ほど怖い問題ではありません。