東京大学 理系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
aを$1 \lt a \lt 3$をみたす実数とし、座標空間内の4点$\mathrm{ P_1 }(1,0,1)$、$\mathrm{ P_2 }(1,1,1)$、$\mathrm{ P_3 }(1,0,3)$、$\mathrm{ Q }(0,0,a)$を考える。直線$\mathrm{ P_1Q }$、$\mathrm{ P_2Q }$、$\mathrm{ P_3Q }$とxy平面の交点をそれぞれ$\mathrm{ R_1 }$、$\mathrm{ R_2 }$、$\mathrm{ R_3 }$として、三角形$\mathrm{ R_1R_2R_3 }$の面積を$S(a)$とする。$S(a)$を最小にするaと、そのときの$S(a)$の値を求めよ。

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【考え方】
$\mathrm{ P_1 }$と$\mathrm{ P_2 }$と$\mathrm{ Q }$はy座標が0なので、$\mathrm{ R_1 }$と$\mathrm{ R_3 }$はx軸上にあるということがわかります。そのため、三角形の頂点の座標が出せれば、その面積は簡単に出すことができます。

最小値を求めるには、これを微分して計算するだけです。方針を立てるのは難しくありません。計算も特に工夫することもなく解けます。