東京大学 理系 2016年度 第2問 解説

問題編

【問題】
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

 (a) 1試合目でAとBが対戦する。
 (b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
 (c) k試合目で優勝が決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は$\frac{1}{2}$で、引き分けはないものとする。

(1) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) mを正の整数とする。総試合数が$3m$回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付確率を求めよ。

【広告】

【考え方】
(1)を考える際、まず「$n-1$試合目まで優勝が決まらない」ことが必要なので、優勝が決まらないためには、どのチームが勝たないといけないのか、書き出して考えてみましょう。すると、1試合目でAが勝てばその後の勝利チームは1通りに決まり、Bが勝つ場合も1通りに決まることがわかります。

(2)は単に等比数列の和に関する計算問題ですが、除外しないといけない項がいくつかあることに注意します。計算は煩雑です。

なお、文系第2問で、これと似た問題が出題されています。