なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2015年度 第6問 解説

問題編

【問題】
nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。

(1) 関数$g(x)$を次のように定める。
\begin{eqnarray}
g(x) =
\left\{
\begin{array}{1}
\displaystyle \frac{\cos(\pi x ) +1}{2} & &(|x| \leqq 1) \\
0 & &(|x| \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$f(x)$を連続な関数とし、p、qを実数とする。$\displaystyle|x| \leqq \frac{1}{n}$をみたすxに対して、$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき、次の不等式を示せ。
\[
p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx) f(x) dx \leqq q
\]

(2) 関数$h(x)$を次のように定める。
\begin{eqnarray}
h(x) =
\left\{
\begin{array}{1}
\displaystyle – \frac{\pi}{2} \sin(\pi x) & &(|x| \leqq 1) \\
0 & &(|x| \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
このとき、次の極限を求めよ。
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e ^{x+1}) dx
\end{eqnarray}

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【考え方】
$f(x)$に対して$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$に関する条件しかないのに、-1から1まで積分っていうところで一瞬「?」となってしまいます。しかし、$g(x)$が0になっている範囲を考えると、実はこの積分区間はひっかけであることがわかります。

(2)の極限値は、(1)の結果を見るとはさみうちを使うことがバレバレです。また、ちょっと気づきにくいかもしれませんが、$g'(x)=h(x)$であり、このことも(2)の計算途中で使います。(1)をどう使うかを考えれば気付くと思いますが。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2015年度
分野: 関数と極限, 積分
トピック: 関数と極限, 積分(理系)
レベル: ややむずい
キーワード: 積分, 部分積分, 置換積分, はさみうちの定理, 極限
更新日:2016/11/15