東京大学 理系 2015年度 第5問 解説

問題編

問題

m2015 以下の正の整数とする。 ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ が偶数となる最小の m を求めよ。

考え方

でました。2015年度で一番の「何をどうしたらいいのかよくわからない問題」です。

こういう場合は、とりあえず実験してみましょう。$m=1$ の場合から順番に書き出してみます。

${}_{2015} \mathrm{C} _1=2015$ で奇数ですね。
${}_{2015} \mathrm{C} _2 = 2015×2014/2=2015×1007$ で奇数。
${}_{2015} \mathrm{C} _3$は、\[2015×2014×2013/(3×2)=2015×1007×671\]で、やっぱり奇数。

当たり前ですが、奇数ですね。こんなところで偶数になってたら問題にならないですからね。分子に偶数が現れても、分母にある偶数と打ち消し合って、結局奇数になってしまいます

$\displaystyle{}_{2015} \mathrm{C} _m=\frac{2015!}{m!(2015-m)!}$ です。分母分子を $(2015-m)!$ で割ると、分子は、 $2015$ から $(2015-m+1)$ までの $m$ 個の積、分母は $1$ から $m$ までの $m$ 個の積です。

つまり、${}_{2015} \mathrm{C} _m$ と ${}_{2015} \mathrm{C} _{m-1}$ の違いは、分子に $2016-m$ があることと分母に $m$ があることです。上のように順番に ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ を見ていった場合、これがはじめて偶数になるのは、 $(2016-m)$ を $2$ で割れる回数が $m$ を $2$ で割れる回数をはじめて上回る時です。

$2$ で割れる回数に着目すればいいので、 $2016=2^5\cdot 63$ 、 $m=2^a\cdot b$ と書いてみます(b は奇数)。すると、 $(2016-m)=2^a(2^{5-a} \cdot 63 – b)$ となります。分母の $m=2^a\cdot b$ は2で a 回割れるので、分子は $a+1$ 回以上割れないといけません。つまり、このカッコの中が偶数になるしかありません。こうなると、もう答えが見えてきます。

ここまでのことをふまえて、解答に仕上げていきます。