なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
数列$\{ p_n \}$を次のように定める。
\[
p_1=1, \ p_2=2, \ p_{n+2} = \frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,2,3,\cdots)
\]

(1) $\displaystyle\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$がnによらないことを示せ。

(2) すべての$n=2,3,4,\cdots$に対し、$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ。

(3) 数列$\{ q_n \}$を次のように定める。
\[
q_1=1, \ q_2=1, \ q_{n+2} = q_{n+1} + q_n \ (n=1,2,3,\cdots)
\]
すべての$n=1,2,3,\cdots$に対し、$p_n=q_{2n-1}$を示せ。

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【考え方】
まず、$p_n$がどういう数列なのか、少し書き出してみましょう。与えられた式をそのまま使うと、$p_3=5$、$p_4=13$、$p_5=34$となります。残念ですが、正直これだけではよくわかりません。

(1)で与えられている式が$n$によらないということは、$n$がどんな値であっても答えが変わらないので、$n=1$のときを考えてみると、3になることがわかります。ただ、これを直接算出するのは難しそうです。

そのため、与えられている式の$n$と$n+1$バージョンを比較して、差が0になるとか割り算の答えが1になるなどを示す方針で考えましょう。直接漸化式を代入してもいいのですが、2乗があってちょっと計算が大変です。よく見ると、漸化式の分子と、与えられている式の分子でかぶっているところがあるので、このことを利用して変形していきましょう。

(2)は(1)を使います。(3)は数学的帰納法で示していきます。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2015年度
分野: 数列
トピック: 数列
レベル: ふつう
キーワード: 漸化式, 数列, フィボナッチ数列
更新日:2016/11/15