なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2006年度後期 第3問 解説

問題編

【問題】
 数列の和の公式
\begin{eqnarray}
& & \sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1) \ , \\[5pt]
& & \sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ , \\[5pt]
& & \sum_{k=1}^n k^3 =\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}などについて、次のような一般的な考察をしてみよう。

 $p,n$を自然数とする。

(1) $p+1$次多項式$S_p(x)$があって、数列の和$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p$が$S_p(n)$と表されることを示せ。

(2) qを自然数とする。(1)の多項式$S_1(x),S_3(x),\cdots,S_{2q-1}(x)$に対して、\[ \sum_{j=1}^q a_j S_{2j-1}(x) = x^q(x+1)^q \]が恒等式となるような定数$a_1,\cdots ,a_q$をqを用いて表せ。

(3) qを2以上の自然数とする。(1)の多項式$S_2(x),S_4(x),\cdots,S_{2q-2}(x)$に対して、\[ \sum_{j=1}^{q-1} b_j S_{2j}(x) = x^{q-1}(x+1)^{q-1}(cx+q) \]が恒等式となるような定数cと$b_1,\cdots ,b_{q-1}$をqを用いて表せ。

(4) pを3以上の奇数とする。このとき、\[ \frac{d}{dx}S_p(x)=pS_{p-1}(x) \]を示せ。

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【考え方】
時間内に正解にたどり着くことを想定しているのか。そんな疑問が出るくらい、難しくて計算力の必要な問題です。

(1)はべき乗の和の公式の導き方を知っていれば、それを応用することができます。3乗の和の公式を導くときに、教科書などに方法は載っているはずですが、これを覚えていなければ手を付けることは難しいでしょう。

(2)(3)は、恒等式なので両辺の係数を比較するのが常套手段です。ただ、計算が大変です。特に(3)は時間内で正解にたどり着くのは相当難しいです。

(4)は、(2)(3)を使うのが見え見えです。(2)と(3)の答えを見比べるとどう使えばいいかはわかるでしょう。(4)も計算が必要ですが、(3)が解ける人には(4)は楽な問題です。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2006年度
分野: 式と証明, 数列
トピック: 二項定理, 等式と不等式の証明, 数列
レベル: かなりむず
キーワード: 二項係数, 恒等式, 和の公式
更新日:2016/11/15