なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2006年度後期 第2問 解説

問題編

【問題】
 aを正の実数、$\theta$を$\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする。xyz空間において、点$(a,0,0)$と点$(a+\cos \theta,0,\sin\theta)$を結ぶ線分を、x軸のまわりに1回転させてできる曲面をSとする。さらに、Sy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする。
 次の問に答えよ。

(1) Vaと$\theta$を用いて表せ。

(2) $a=4$とする。Vを$\theta$の関数と考えて、Vの最大値を求めよ。

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【考え方】
2回も回転するので面倒ですが、基本的には「平面$y=t$で切った断面積を積分する」という方針でいきます。Sを平面$y=t$で切った断面の形は気にする必要はなく、y軸から一番近い点と遠い点さえわかればOKです。あとはドーナツ型の断面を使って、積分すれば(1)は出ます。

(1)が求められれば、(2)はおまけみたいな問題です。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2006年度
分野: 微分, 積分
トピック: 微分(理系), 積分(理系)
レベル: ややむずい
キーワード: 三次元, 最大・最小, 増減表, 回転体の体積
更新日:2016/11/15