なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2006年度 第6問 解説

問題編

【問題】
 $x\gt 0$を定義域とする関数$\displaystyle f(x)=\frac{12(e^{3x}-3e^x)}{e^{2x}-1}$について、以下の問いに答えよ。

(1) 関数$y=f(x) \ (x\gt 0)$は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、$f(x)=a$となる$x\gt 0$がただ1つ存在することを示せ。

(2) 前問(1)で定められた逆関数を$y=g(x) \ (-\infty \lt x \lt \infty)$とする。このとき、定積分$\displaystyle \int_8^{27} g(x)dx$を求めよ。

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【考え方】
(1)は、狭義単調増加か狭義単調減少であり、区間の左右で発散していることが言えればOKです。つまり、「任意の実数aに対し、$f(x)=a$となる$x\gt 0$がただ1つ存在する」を「$f(x)$はすべての値を1回だけとる」と言い換えて考えるということです。

(2)は、少しわかりにくいですが、置換積分で計算します。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2006年度
分野: 関数と極限, 微分, 積分
トピック: 関数と極限, 微分(理系), 積分(理系)
レベル: むずかしい
キーワード: 逆関数, 部分分数分解, 積分, 部分積分, 置換積分
更新日:2016/11/15