なかけんの数学ノート

東京大学 文系 2016年度 第4問 解説

問題編

【問題】
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1) nを正の整数とし、$3^n$を10で割った余りを$a_n$とする。$a_n$を求めよ。
(2) nを正の整数とし、$3^n$を4で割った余りを$b_n$とする。$b_n$を求めよ。
(3) 数列$\{x_n\}$を次のように定める。\[x_1=1、x_{n+1}=3^{x_n} \quad (n=1,2,3,\cdots)\]$x_{10}$を10で割った余りを求めよ。

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【考え方】
(1)は書き出せばすぐに法則に気づきます。(2)も書き出せばすぐに答えはわかるでしょう。それを示すのに少しテクニックは要りますが、整数問題ではよく使う手法であり、難しくはありません。

(3)は(1)と(2)をよく見ればすぐにひらめくでしょう。見た目ほど怖くはなく、むしろサービス問題です。

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試験名: 大学入試, 東大文系, 東京大学
年度: 2016年度
分野: 整数の性質, 数列
トピック: 整数, 数列
レベル: やさしい
キーワード: 余り, 整数問題
更新日:2016/11/15