なかけんの数学ノート

東京大学 文系 2016年度 第2問 解説

問題編

【問題】
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

 (a) 1試合目でAとBが対戦する。
 (b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
 (c) k試合目で優勝が決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は$\frac{1}{2}$で、引き分けはないものとする。

(1) ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3) mを正の整数とする。総試合数が$3m$回以下でAが優勝する確率を求めよ。

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【考え方】
状況が複雑なので、まずはありうるケースを書き出して考えてみましょう。

(1)では、まず1試合目でAが勝つかBが勝つか、2通りあります。

もし1試合目でAが勝った場合、2試合目でAが勝つと2試合目で優勝してしまうことになるので、2試合目は「A対C」でCが勝つケースしかありません。3試合目でCが勝つとCが優勝してしまうので、3試合目は「B対C」でBが勝つケースしかありません。4試合目の勝者がBだとBが優勝してしまうので、4試合目は「A対B」で勝者がA、そして、5試合目は「A対C」でAが勝って優勝する。Aが5試合目で優勝するには、このケースしかありません。

同じように考えると、1試合目でBが勝った場合、2試合目は「B対C」でCが勝つ、3試合目は「A対C」でAが勝つ、4試合目は「A対B」となりますが、このとき、4試合目でAが勝つとこの時点でAは優勝、Bが勝つと5試合目でAが優勝することはありません。つまり、1試合目でBが勝った場合、5試合目でAが優勝するケースはないことがわかります。

以上のことから、優勝が決まらないためには、「前の試合で勝ったチームが次の試合で負ける、前の試合で待機していたチームが勝つ、前の試合で負けたチームが待機」の場合しかないことがわかります。そのため、1試合目でAが勝ったとき、その後どのチームが勝つかは1通りに決まり、Bが勝った時も1通りに決まってしまいます。

これを使って、(2)を解いていきます。(2)ができれば、(3)はそれを使った計算問題です。

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試験名: 大学入試, 東大文系, 東京大学
年度: 2016年度
分野: 場合の数と確率, 数列
トピック: 確率, 数列
レベル: ふつう
キーワード: 確率, 等比数列の和
更新日:2016/11/15