東京大学 文系 2015年度 第3問 解説

問題編

【問題】
 lを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに、以下の3条件(i)、(ii)、(iii)で定まる円$C_1$, $C_2$を考える。

(i) 円$C_1$, $C_2$は2つの不等式 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ で定まる領域に含まれる。
(ii) 円$C_1$, $C_2$は直線lと同一点で接する。
(iii) 円$C_1$はx軸と点$(1,0)$で接し、円$C_2$はy軸と接する。

円$C_1$の半径を$r_1$、円$C_2$の半径を$r_2$とする。$8r_1+9r_2$が最小となるような直線lの方程式と、その最小値を求めよ。
tokyo-u-b-2015-3-01

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【考え方】
まずは、$r_1$を使って、$r_2$をどう表せばいいかを考えます。いくつか方法はありますが、ここでは$\tan$の加法定理を使います(解答後に別の出し方も書きます)。

問題は$8r_1+9r_2$の評価です。分母に変数が来てしまうので、その最小値を求めるのが難しいです。使える道具は少ないので、いかに「例の技」に持ち込むかがポイントになってきます。