東京大学 文系 2006年度 第3問 解説

問題編

【問題】
 nを正の整数とする。実数$x,y,z$に対する方程式\[ x^n+y^n+z^n = xyz \quad \cdots ① \]を考える。

(1) $n=1$のとき、①を満たす正の整数の組$(x,y,z)$で、$x\leqq y \leqq z$となるものをすべて求めよ。

(2) $n=3$のとき、①を満たす正の実数の組$(x,y,z)$は存在しないことを示せ。

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【考え方】
(1)の$x+y+z=xyz$は、左辺は1乗で右辺は3乗なので、各数字が大きいときに右辺がすごく大きい値になります。よって、ある程度小さい数字じゃないといけないことが分かります。右辺が大きくなれないことを利用して、制約を考えましょう。

逆に、(2)の$x^3+y^3+z^3=xyz$は、$x,y,z$の最大値が、左辺には3乗の形で登場するのに、右辺では1乗しかありません。なので、左辺の方が大きくなりやすいことが分かります。左辺が大きくなれないことを利用して、制約を考えましょう。