なかけんの数学ノート

東京大学 文系 2006年度 第2問 解説

問題編

【問題】
 コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。

 最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。

(1) $P_2$をpで表せ。

(2) $P_3$をpで表せ。

(3) $n\geqq 4$のとき、$P_n$をpnで表せ。

[広告]

【考え方】
「○が表示される確率はp」というのが普通ですが、ここでは、「前回と同じ記号が表示される確率がp」となっていて、ちょっと見慣れない表現になっています。そのため、普通なら「○か×か」を考えますが、この問題では、「前回と同じ記号かどうか」に着目して考えていきます。

(1)(2)は、あてはまる場合をすべて書き出して計算するほうが確実です。

(3)は、×が1回だけの確率はすぐに求められます。問題は×が2回のときです。

「前回と異なる記号が表示される回数」で場合分けをします。1回目2回目が「××」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは1回だけです。しかし、「×○」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは3回となります。そのため、1回目2回目が「××」か「×○」かで状況が変わってくるので、場合を分けて考えていきます。

なお、この問題は理系第2問とほぼ同じ問題です。理系では(2)がなく、誘導が1つ減っています。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, 東大文系, 東京大学
年度: 2006年度
分野: 場合の数と確率
トピック: 確率
レベル: ややむずい
キーワード: 確率
更新日:2016/11/15