東京都 公立高校 2018年度 第5問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$

 右の図1に示した立体ABC-DEF は、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=\mathrm{ AD }=9 \mathrm{ cm }$、 $\angle \mathrm{ BAC }=\angle \mathrm{ BAD }=\angle \mathrm{ CAD }=90^{\circ}$ の三角柱である。

図1

 辺EF の中点をM とする。
 頂点C と点M を結び、線分CM 上にある点を P とする。
 頂点B と点P、 頂点Dと点P をそれぞれ結ぶ。

 次の各問に答えよ。

[問1] 次の   の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

 図1において点P が頂点C に一致するとき、 $\angle \mathrm{ BPD }$ の大きさは、 $\myBox{くけ}$ 度である。

[問2] 次の   の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

 右の図2図1において頂点A と点P、頂点Bと頂点D をそれぞれ結んだ場合を表している。

図2

 $\mathrm{ CP }:\mathrm{ PM }=2:1$ のとき、立体P-ABD の体積は、 $\myBox{こさ} \mathrm{ cm }^3$ である。

【広告】

考え方

問1は、いきなり角度を考えるのは難しいので、その角を含む三角形の辺の長さから考えるようにしましょう。

問2は、「底面積×高さ÷3」の公式で出すことができます。どこを底面とするかは決めやすいですね。高さは、一度平面で切ってから考えると求めやすいです。方針が立ちやすいので、例年に比べると、取り組みやすいです。