東京都 公立高校 2018年度 第4問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$

 右の図1で、点O は線分AB を直径とする円の中心である。

図1

 点C は円O の周上にある点で、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ である。
 点P は、点C を含まない $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AB } }$ 上にある点で、点A、点B のいずれにも一致しない。
 点A と点C、 点C と点P をそれぞれ結び、線分AB と線分CP との交点を Q とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 図1 において、 $\angle \mathrm{ ACP }=a^{\circ}$ とするとき、 $\angle \mathrm{ AQP }$ の大きさを表す式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $(60-a)$ 度
 イ $(90-a)$ 度
 ウ $(a+30)$ 度
 エ $(a+45)$ 度

[問2] 右の図2図1において、点Aと点P、 点B と点Pをそれぞれ結び、線分BPP の方向に延ばした直線上にあり $\mathrm{ BP }=\mathrm{ RP }$ となる点を R とし、点A と点R を結んだ場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① $\triangle \mathrm{ ABP } \equiv \triangle \mathrm{ ARP }$ であることを証明せよ。

② 次の   の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 図2において点O と点P を結んだ場合を考える。
 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }=2\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BP } }$ のとき、
$\triangle \mathrm{ ACQ }$ の面積は、四角形 AOPR の面積の $\dfrac{\myBox{か}}{\myBox{き}}$ 倍である。

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考え方

問1は、 $\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ AC } }=\stackrel{ \Large \frown }{ \mathrm{ BC } }$ という条件で、どこの角が求められるのかをよく考えましょう。

問2の前半は、明らかに等しいものが2つあるので、残る1つを探します。角度に関する条件を使いましょう。

後半は、相似を用いて面積比を考えていきます。問2の前半や問1の途中で得られた内容も利用して、考えていきましょう。