東京都 公立高校 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 右の図1で点O は原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフを表している。

図1

 点A、点B はともに曲線 $\ell$ 上にあり、x 座標はそれぞれ $-4,6$ である。
 曲線 $\ell $ 上にある点を P とする。
 次の各問に答えよ。

[問1] 点Px 座標を ay 座標を b とする。
 a のとる値の範囲が $-4\leqq a \leqq 6$ のとき、b のとる値の範囲を次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $-8\leqq b \leqq 18$
  $0\leqq b \leqq 8$
  $0\leqq b \leqq 18$
  $8\leqq b \leqq 18$

[問2] 右の図2図1において、点Px 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点A と点B を結び、線分AB 上にあり x 座標が点 Px 座標と等しい点をQ とし、点P と点Q を結び、線分PQ の中点を M とした場合を表している。

図2

 次の①, ②に答えよ。

① 点Py 軸上にあるとき、2点 B, M を通る直線の式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

  $y=2x+6$
  $y=\dfrac{1}{2}x+6$
  $y=3x$
  $y=2x$

② 直線BM が原点を通るとき、点P の座標を求めよ。

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考え方

問1は、よくあるひっかけ問題です。グラフをよく見て考えましょう。

問2は、それぞれどのような状況かを把握してから考えましょう。P, Q, M に関する条件を式で書いて、方程式を作って考えていくようにしましょう。後半は、「直線 BM が原点を通る」という条件をそのまま考えるよりも、別の表現に言い換えたほうが考えやすくなるでしょう。