共通テスト 数学I・数学A 2017年度プレテスト 第5問 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$n を $3$ 以上の整数とする。紙に正方形のマスが縦横とも $(n-1)$ 個ずつ並んだマス目を書く。その $(n-1)^2$ 個のマスに、以下のルールに従って数字を一つずつ書き込んだものを「方盤」と呼ぶことにする。なお、横の並びを「行」、縦の並びを「列」という。

 ルール: 上から k 行目、左から $\ell$ 列目のマスに、k と $\ell$ の積を n で割った余りを記入する。

 $n=3$, $n=4$ のとき、方盤はそれぞれ下の図1, 図2のようになる。

 例えば、図2において、上から2行目、左から3列目には、 $2\times 3=6$ を $4$ で割った余りである $2$ が書かれている。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $n=8$ のとき、下の図3の方盤の A に当てはまる数を答えよ。 $\myBox{ア}$

 また、図3の方盤の上から5行目に並ぶ数のうち、 $1$ が書かれているのは左から何列目であるかを答えよ。左から $\myBox{イ}$ 列目

(2) $n=7$ のとき、下の図4のように、方盤のいずれのマスにも $0$ が現れない。

 このように、方盤のいずれのマスにも $0$ が現れないための、n に関する必要十分条件を、次の 0~5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ウ}$

 0: $n$ が奇数であること。
 1: $n$ が $4$ で割って $3$ 余る整数であること。

 2: $n$ が $2$ の倍数でも $5$ の倍数でもない整数であること。
 3: $n$ が素数であること。

 4: $n$ が素数ではないこと。
 5: $n-1$ と $n$ が互いに素であること。

(3) n の値がもっと大きい場合を考えよう。方盤においてどの数字がどのマスにあるかは、整数の性質を用いると簡単に求めることができる。

 $n=56$ のとき、方盤の上から $27$ 行目に並ぶ数のうち、 $1$ は左から何列目にあるかを考えよう。

(i) 方盤の上から $27$ 行目、左から $\ell$ 列目の数が $1$ であるとする(ただし、$1\leqq \ell \leqq 55$ )。 $\ell$ を求めるためにはどのようにすれば良いか。正しいものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{エ}$

 0: 1次不定方程式 $27\ell-56m=1$ の整数解のうち、 $1\leqq \ell \leqq 55$ を満たすものを求める。

 1: 1次不定方程式 $27\ell-56m=-1$ の整数解のうち、 $1\leqq \ell \leqq 55$ を満たすものを求める。

 2: 1次不定方程式 $56\ell-27m=1$ の整数解のうち、 $1\leqq \ell \leqq 55$ を満たすものを求める。

 3: 1次不定方程式 $56\ell-27m=-1$ の整数解のうち、 $1\leqq \ell \leqq 55$ を満たすものを求める。

(ii) (i)で選んだ方法により、方盤の上から $27$ 行目に並ぶ数のうち、 $1$ は左から何列目にあるかを求めよ。左から $\myBox{オカ}$ 列目

(4) $n=56$ のとき、方盤の各行にそれぞれ何個の $0$ があるか考えよう。

(i) 方盤の上から $24$ 行目には $0$ が何個あるか考える。

 左から $\ell$ 列目が $0$ であるための必要十分条件は、 $24\ell$ が $56$ の倍数であること、すなわち、 $\ell$ が $\myBox{キ}$ の倍数であることである。したがって、上から $24$ 行目には $0$ が $\myBox{ク}$ 個ある。

(ii) 上から $1$ 行目から $55$ 行目までのうち、 $0$ の個数が最も多いのは上から何行目であるか答えよ。上から $\myBox{ケコ}$ 行目

(5) $n=56$ のときの方盤について、正しいものを、次の 0~5 のうちからすべて選べ。 $\myBox{サ}$

 0: 上から $5$ 行目には $0$ がある。
 1: 上から $6$ 行目には $0$ がある。

 2: 上から $9$ 行目には $1$ がある。
 3: 上から $10$ 行目には $1$ がある。

 4: 上から $15$ 行目には $7$ がある。
 5: 上から $21$ 行目には $7$ がある。

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考え方

方盤というものを使っていますが、整数の性質に関する問題です。倍数・約数や余り、不定一次方程式の整数解を扱っています。設定を理解しながら、整数のどんな性質を利用すればいいのかを考えていきましょう。

(5)はそれまでの問題で考えたことを利用して取り組みましょう。正しいものをすべて選ばないといけないので、各選択肢について1つ1つ考えないといけません。選択肢はどれも似た形をしていますが、選択肢によって考えるポイントや使う性質はまったく異なります。特に、4と5をどう考えるかが難しいです。