共通テスト 数学I・数学A 2017年度プレテスト 第3問 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$高速道路には、渋滞状況が表示されていることがある。目的地に行く経路が複数ある場合は、渋滞中を示す表示を見て経路を決める運転手も少なくない。太郎さんと花子さんは渋滞中の表示と車の流れについて、仮定をおいて考えてみることにした。

 A 地点(入口)から B 地点(出口)に向かって北上する高速道路には、図1のように分岐点 A, C, E と合流点B, D がある。①, ②, ③は主要道路であり、④, ⑤, ⑥, ⑦ は迂回道路である。ただし、矢印は車の進行方向を表し、図1の経路以外に A 地点から B 地点に向かう経路はないとする。また、各分岐点 A, C, E には、それぞれ①と④, ②と⑦, ⑤と⑥の渋滞状況が表示される。

 太郎さんと花子さんは、まず渋滞中の表示がないときに、A, C, E の各分岐点において運転手がどのような選択をしているか調査した。その結果が表1である。

表1

調査日 地点 台数 選択した道路 台数
5月10日 A 1183 1092
91
5月11日 C 1008 882
126
5月12日 E 496 248
248

 これに対して太郎さんは、運転手の選択について、次のような仮定をおいて確率を使って考えることにした。

【太郎さんの仮定】

(i) 表1の選択の割合を確率とみなす。

(ii) 分岐点において、二つの道路のいずれにも渋滞中の表示がない場合、またはいずれにも渋滞中の表示がある場合、運転手が道路を選択する確率は(i)でみなした確率とする。

(iii) 分岐点において、片方の道路にのみ渋滞中の表示がある場合、運転手が渋滞中の表示のある道路を選択する確率は(i)でみなした確率の $\dfrac{2}{3}$ 倍とする。

 ここで、(i)の選択の割合を確率とみなすとは、例えば A 地点の分岐において④の道路を選択した割合 $\dfrac{91}{1183}=\dfrac{1}{13}$ を④の道路を選択する確率とみなすということである。

 太郎さんの仮定のもとで、次の問いに答えよ。

(1) すべての道路に渋滞中の表示がない場合、A 地点の分岐において運転手が①の道路を選択する確率を求めよ。 $\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$

(2) すべての道路に渋滞中の表示がない場合、A 地点から B 地点に向かう車が D 地点を通過する確率を求めよ。 $\dfrac{\myBox{オカ}}{\myBox{キク}}$

(3) すべての道路に渋滞中の表示がない場合、A 地点から B 地点に向かう車で D 地点を通過した車が、E 地点を通過していた確率を求めよ。 $\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コサ}}$

(4) ①の道路にのみ渋滞中の表示がある場合、A 地点から B 地点に向かう車が D 地点を通過する確率を求めよ。 $\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セソ}}$

 各道路を通過する車の台数が1000台を超えると車の流れが急激に悪くなる。一方で各道路の通過台数が1000台を超えない限り、主要道路である①, ②, ③をより多くの車が通過することが社会の効率化に繋がる。したがって、各道路の通過台数が1000台を超えない範囲で、①, ②, ③をそれぞれ通過する台数の合計が最大になるようにしたい。
 このことを踏まえて、花子さんは、太郎さんの仮定を参考にしながら、次のような仮定をおいて考えることにした。

【花子さんの仮定】

(i) 分岐点において、二つの道路のいずれにも渋滞中の表示がない場合、またはいずれにも渋滞中の表示がある場合、それぞれの道路に進む車の割合は表1の割合とする。

(ii) 分岐点において、片方の道路にのみ渋滞中の表示がある場合、渋滞中の表示のある道路に進む車の台数の割合は表1の割合の $\dfrac{2}{3}$ 倍とする。

 過去のデータから5月13日に A 地点から B 地点に向かう車は1560台と想定している。そこで、花子さんの仮定のもとでこの台数を想定してシミュレーションを行った。このとき、次の問いに答えよ。

(5) すべての道路に渋滞中の表示がない場合、①を通過する台数は $\myBox{タチツテ}$ 台となる。よって、①の通過台数を1000台以下にするには、①に渋滞中の表示を出す必要がある。
 ①に渋滞中の表示を出した場合、①の通過台数は $\myBox{トナニ}$ 台となる。

(6) 各道路の通過台数が1000台を超えない範囲で、①, ②, ③をそれぞれ通過する台数の合計を最大にするには、渋滞中の表示を $\myBox{ヌ}$ のようにすればよい。 $\myBox{ヌ}$ に当てはまるものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。

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考え方

(1)(2)(4)は一般的な確率の問題で、和の法則・積の法則・余事象などを使って考えれば解くことができます。出題方法が変わっていますが、問題文の意味が読み取れれば、通常のセンター試験よりも計算の難易度は低めです。

(3)は条件付き確率ですが、これも標準的な内容です。

(5)(6)は、確率の問題というよりは、単なる割合の問題です。問題文にある条件が、どのような制約を表しているのか、正確に読み取る必要はありますが、計算自体は簡単です。