共通テスト 数学I・数学A 2017年度プレテスト 第2問 [1] 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$◯◯高校の生徒会では、文化祭でTシャツを販売し、その利益をボランティア団体に寄付する企画を考えている。生徒会執行部では、できるだけ利益が多くなる価格を決定するために、次のような手順で考えることにした。

【価格決定の手順】
(i) アンケート調査の実施
 200人の生徒に、「Tシャツ1枚の価格がいくらまでであればTシャツを購入してもよいと思うか」について尋ね、500円、1000円、1500円、2000円の四つの金額から一つを選んでもらう。

(ii) 業者の選定
 無地のTシャツ代とプリント代を合わせた「製作費用」が最も安い業者を選ぶ。

(iii) Tシャツ1枚の価格の決定
 価格は「製作費用」と「見込まれる販売数」をもとに決めるが、販売時に釣り銭の処理で手間取らないよう50の倍数の金額とする。

 下の表1は、アンケート調査の結果である。生徒会執行部では、例えば、価格が1000円のときには1500円や2000円と回答した生徒も1枚購入すると考えて、それぞれの価格に対し、その価格以上の金額を回答した生徒の人数を「累積人数」として表示した。

表1

Tシャツ1枚の価格(円) 人数(人) 累積人数(人)
2000 50 50
1500 43 93
1000 61 154
500 46 200

 このとき、次の問いに答えよ。

(1) 売上額は
 (売上額)=(Tシャツ1枚の価格)×(販売数)
と表せるので、生徒会執行部では、アンケートに回答した200人の生徒について、調査結果をもとに、表1にない価格の場合についても販売数を予測することにした。そのために、Tシャツ1枚の価格を x 円、このときの販売数を y 枚とし、 xy の関係を調べることにした。
 表1のTシャツ1枚の価格と $\myBox{ア}$ の値の組を $(x,y)$ として座標平面上に表すと、その4点が直線に沿って分布しているように見えたので、この直線を、Tシャツ1枚の価格 x と販売数 y の関係を表すグラフとみなすことにした。
 このとき、 yx の $\myBox{イ}$ であるので、売上額を $S(x)$ とおくと、 $S(x)$ は x の $\myBox{ウ}$ である。このように考えると、表1にない価格の場合についても売上額を予測することができる。

 $\myBox{ア}$, $\myBox{イ}$, $\myBox{ウ}$ に入るものとして最も適当なものを、次の 0~6 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: 人数
 1: 累積人数
 2: 製作費用
 3: 比例
 4: 反比例
 5: 1次関数
 6: 2次関数

 生徒会執行部が(1)で考えた直線は、表1を用いて座標平面上にとった4点のうち x の値が最小の点と最大の点を通る直線である。この直線を用いて、次の問いに答えよ。

(2) 売上額 $S(x)$ が最大になる x の値を求めよ。 $\myBox{エオカキ}$

(3) Tシャツ1枚当たりの「製作費用」が 400円の業者に120枚を依頼することにしたとき、利益が最大になるTシャツ1枚の価格を求めよ。 $\myBox{クケコサ}$ 円

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考え方

問題文が長いですが、2次関数の最大を求めているだけです。

問題文にある条件を、数式でどのように表現するかを考えながら解いていきましょう。計算自体は難しくありません。

(3)は(2)とどこが違うのかよく考えましょう。利益と売上額との関係にも着目して考えましょう。