共通テスト 数学I・数学A 2017年度プレテスト 第1問 [1] 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数学の授業で、2次関数 $y= ax^2 + bx + c$ についてコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて考察している。
 このソフトでは、図1の画面上の $\myBox{A}$, $\myBox{B}$, $\myBox{C}$ にそれぞれ係数 a, b, c の値を入力すると、その値に応じたグラフが表示される。さらに、 $\myBox{A}$, $\myBox{B}$, $\myBox{C}$ それぞれの下にある・を左に動かすと係数の値が減少し、右に動かすと係数の値が増加するようになっており、値の変化に応じて2次関数のグラフが座標平面上を動く仕組みになっている。

また、座標平面は x 軸、y 軸によって四つの部分に分けられる。これらの各部分を「象限」といい、右の図のように、それぞれを「第1象限」「第2象限」「第3象限」「第4象限」という。ただし、座標軸上の点は、どの象限にも属さないものとする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1) はじめに、図1の画面のように、頂点が第3象限にあるグラフが表示された。このときの a, b, c の値の組合せとして最も適当なものを、次の 0~5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ア}$

a b c
0 $2$ $1$ $3$
1 $2$ $-1$ $3$
2 $-2$ $3$ $-3$
3 $\frac{1}{2}$ $3$ $3$
4 $\frac{1}{2}$ $-3$ $3$
5 $-\frac{1}{2}$ $3$ $-3$

(2) 次に、a, b の値を(1)の値のまま変えずに、c の値だけを変化させた。このときの頂点の移動について正しく述べたものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{イ}$

 0: 最初の位置から移動しない。
 1: x 軸方向に移動する。
 2: y 軸方向に移動する。
 3: 原点を中心として回転移動する。

(3) また、b, c の値を(1)の値のまま変えずに、a の値だけをグラフが下に凸の状態を維持するように変化させた。このとき、頂点は、 $a=\dfrac{b^2}{4c}$ のときは $\myBox{ウ}$ にあり、 それ以外のときは $\myBox{エ}$ を移動した。 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$ に当てはまるものを、次の 0~8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: 原点
 1: x 軸上
 2: y 軸上
 3: 第3象限のみ
 4: 第1象限と第3象限
 5: 第2象限と第3象限
 6: 第3象限と第4象限
 7: 第2象限と第3象限と第4象限
 8: すべての象限

(4) 最初の a, b, c の値を変更して、下の図2のようなグラフを表示させた。このとき、a, c の値をこのまま変えずに、b の値だけを変化させても、頂点は第1象限および第2象限には移動しなかった。
 その理由を、頂点の y 座標についての不等式を用いて説明せよ。解答は、解答欄 $\myBox{(あ)}$ に記述せよ。

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考え方

今までのセンター試験とは見た目が大きく変わっています。ただ、内容は、二次関数のグラフについてです。見た目に惑わされないようにしましょう。

1問目からわりとヘビーな内容です。計算するだけで得点できる問題はなく、一般的な状況を考える必要があり、数学が苦手な人にはどの問題も厳しいでしょう。(2)は(1)ができなくても解けますが、(1)でつまづいてしまうと戦意喪失してしまいそうです。

最後の記述も、どこまで書くことが求められているかはわかりにくいですが、条件で指定されている不等式と、その不等式が成り立つ理由を書けば十分でしょう。

文字での計算や、一般的な状況を考えるのが得意な人、本質的なことがわかっている人にとっては、複雑な計算が減った分、易しく感じられる人もいるかもしれません。一方で、数学が苦手だという人には、テクニック的な解法が使える箇所が少なく、とても難しく感じてしまうかもしれません。