京都大学 理学部特色入試 2018年度 第4問 解説

(2017年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 自然数 kn は互いに素で、 $k\lt n$ を満たすとする。 n 項からなる数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ が次の3条件 (イ), (ロ), (ハ) を満たすとき、性質 $\mathrm{P}(k,n)$ を持つということにする。
 (イ) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ はすべて整数。
 (ロ) $0\leqq a_1\lt a_2\lt \cdots \lt a_n \lt 2^n-1$
 (ハ) $a_{n+1},\cdots a_{n+k}$ を $a_{n+j}=a_j$ $(1\leqq j \leqq k)$ で定めたとき、 n 以下のすべての自然数 m に対して $2a_m-a_{m+k}$ は $2^n-1$ で割り切れる。

以下の設問に答えよ。
(1) $k=2$ かつ $n=5$ の場合を考える。性質 $\mathrm{P}(2,5)$ を持つ数列 $a_1,a_2,\cdots,a_5$ をすべて求めよ。
(2) 数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ が性質 $\mathrm{P}(k,n)$ を持つとする。 $a_{k+1}-a_k=1$ であることを示せ。

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考え方

(1)は、ある程度、条件を絞って、必要条件から考えていくといいでしょう。(ハ)の条件をどう使うかがポイントです。 「 $2^n-1$ で割り切れる」と書かれていますが、 $2^n-1$ の何倍になるかを絞り込むことができます。

(2)は、数列を円形に並べてみると考えやすいかもしれません。 $a_k,a_{k+1}$ の差だけでなく、 $a_{2k},a_{2k+1}$ や $a_{3k},a_{3k+1}$ などがどうなるかを考えていきましょう。そうすると、「互いに素」の条件もどこで使うかが見えてきます。