京都大学 理学部特色入試 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

 n を自然数とする。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ ずつであるような硬貨を用意し、この硬貨を $2^n-1$ 回投げる。このとき、 $2^{n-1}\leqq k\leqq 2^n-1$ である自然数 k のうち少なくとも1つが次の条件(*) を満たす確率を $p_n$ とする。

 (*) n 以下のすべての自然数 m について、 $\left[ \dfrac{k}{2^{n-m}} \right]$ 回目の硬貨投げの結果は表である。

ただし、実数 x に対して、 $[x]$ は x より大きくない最大の整数を表す。

 例えば、 $p_1$ は硬貨を1回投げて表が出る確率を表すので、 $p_1=\dfrac{1}{2}$ である。 $p_2$ は、硬貨を3回投げて、「1回目と2回目がともに表」であるか「1回目と3回目がともに表」であるかの少なくとも一方が成り立つ確率を表すので、 $p_2=\dfrac{3}{8}$ である。
 以下の設問に答えよ。

(1) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。
(2) $r_n=\dfrac{2}{p_n}-n$ とする。すべての n に対して $r_n\geqq 3$ が成り立つことを示せ。
(3) すべての n に対して\[ \frac{2}{n+3+\log n} \leqq p_n \leqq \frac{2}{n+3} \]が成り立つことを示せ。

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考え方

説明を読むと、(*)の条件がめんどくさそうです。で、その後の例を読むと、そこまでめんどくさくないかな、という気がしてきます。しかし、 $n=3$ のときを考えると、やっぱりめんどくさいことがわかってしまいます。

$n=3$ のときというのは、「1・2・4が表」「1・2・5が表」「1・3・6が表」「1・3・7が表」のどれかが成り立つときです。場合の数を考えようとしても、重なりが多すぎてダメです。普通に数えるわけにはいきません。工夫が必要です。

(1)を見れば、 $n+1$ 番目と $n$ 番目に関係がある、ということがわかりますが、パッとはわかりづらいですね。 $n+1$ のときを、「 $n$ までの場合と $n+1$ 番目」と分けるのではなく、「 $1$ 番目とそれ以降」という分け方にしたほうが考えやすいでしょう。ただ、答えを出しても、 $n=1,2$ のときしか確かめられないため、結果に不安は残ります。

(2)は、(1)の結果を使って、数学的帰納法で示そうとするのが王道でしょう。 $n=k$ のときをどう使うかを考えれば、どういう式変形をすればいいかはひらめきやすいです。

(3)は、(2)を変形すると、すぐに右側の不等式があらわれることに気づきます。これは、つまり、左側の不等式も、 $p_n$ をそのまま使うのではなく、逆数にして使う、というヒントととらえるといいでしょう。

今年の問題の中では、一番難しいです。