京都大学 理学部特色入試 2018年度 第2問 解説

(2017年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 実数 a, b が $0\leqq a \lt 1$ および $0\leqq b\lt 1$ を満たしている。このとき、次の条件 (C) を満たす2つの整数 m, n が存在することを示せ。

 (C) xy 平面において、点 $(m+a,n+b)$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{100}$ の円の内部が、 $y=x^2$ のグラフと共有点を持つ。

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考え方

「円と共有点を持つ」となっていますが、この条件はもっと緩くできます。結局、 $(\sqrt{n+b},n+b)$ との距離を考えればよく、うまく $m,n$ を選べば、 $m+a$ と $\sqrt{n+b}$ との差が $\dfrac{1}{100}$ 未満になることを示す、と考えたほうが取り組みやすいでしょう。