なかけんの数学ノート

京都大学 理学部特色入試 2017年度 第2問 解説

問題編

問題

 n を自然数とする。実数 $a_n$ を\[ a_n = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \frac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}dx \]で定める。
 以下の設問に答えよ。
(1) $a_1$ と $a_2$ を求めよ。
(2) すべての自然数 n に対し、 $a_n$ は正の有理数であることを示せ。さらに、 $a_n$ を互いに素な自然数 $b_n$ と $c_n$ を用いて $\displaystyle a_n=\frac{c_n}{b_n}$ と表すとき、 $b_n$ は奇数であることを示せ。

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考え方

(1)で $n=1, 2$ のときを求めるので、(2)では数学的帰納法を使う、と見せかけています。特に使わなくてもいけるでしょう。

別の変数で置き換えれば、積分区間の数字がきれいに設定されていることもわかります。

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試験名: 大学入試, 京大特色, 京都大学
年度: 2017年度
分野: 数列, 積分
トピック: 二項定理, 積分(理系)
レベル: ややむずい
キーワード: 積分, 置換積分, 二項定理
更新日:2016/12/03