京都大学 理系 2017年度 第6問 解説

解答編

問題

 $n$ を自然数とする。 n 個の箱すべてに、 1, 2, 3, 4, 5 の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつカードを取り出し、取り出した順に左から並べて n 桁の数 X を作る。このとき、 X が3で割り切れる確率を求めよ。

解答

X を3で割ったときの余りと、 X の各位の和を3で割ったときの余りは一致する。以下では、 X の各位の和を考える。

得られた n 桁の数 X を3で割ったときに、余りが 0, 1, 2 になる確率を、それぞれ $p_n$, $q_n$, $r_n$ とおく。 $p_1=\dfrac{1}{5}$ である。

同じ内容の箱を一つ増やして、 $n+1$ 桁の数を作る。下から n 桁まで各位の和を3で割った余りが 0, 1, 2 のとき、 $n+1$ 桁の数を3で割った余りが 0 となる確率はそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$ である。

よって、
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{p_n+2q_n+2r_n}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}と書ける。ここで $p_n+q_n+r_n=1$ なので
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{p_n+2(1-p_n)}{5} \\[5pt] &=& \frac{-p_n+2}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、\[ a = \frac{-a+2}{5} \]の解は
\begin{eqnarray}
5a &=& -a+2 \\[5pt] a &=& \frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
p_{n+1}-\frac{1}{3} &=& -\frac{1}{5} \left(p_n-\frac{1}{3}\right) \\[5pt] p_n-\frac{1}{3} &=& \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \left(p_1-\frac{1}{3}\right) \\[5pt] p_n &=& \frac{1}{3} -\frac{2}{15} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} +\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^n \\[5pt] \end{eqnarray}が得られる。 $n=1$ のときも成り立つので、求める確率は\[ \frac{1}{3} +\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^n \]となる。

(終)

解説

各位の和を3で割ったときの余りに着目して考えていきます。桁が1つ増えたときに、3で割り切れるときがどういうときかを考えて、漸化式を作ります。そのあとは特性方程式を使って解いていきます。漸化式を作る部分も、その後の計算もよく出題される内容です。