京都大学 理系 2017年度 第5問 解説

問題編

問題

 $a\geqq 0$ とする。 $0\leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$, 直線 $y=ax$, 直線 $x=\sqrt{2}$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。このとき、 $S(a)$ の最小値を求めよ。

(ここで「囲まれた部分」とは、上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。)

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考え方

面積が最小になるのは、2点で交わるときであることはすぐに予想がつきます。積分を計算する必要はありませんが、言及する必要はあります。

2点で交わっているとき、面積を求めるのは少し大変です。やるべきことはすぐにわかりますが、計算は手間取ります。また、それを微分するので、計算はかなり大変です。最小になるときの a を求めるだけなら、 $S(a)$ の積分を計算せずにいきなり微分をすることもできますが、最終的に最小値も求めないといけないので、おとなしく積分するしかありません。