なかけんの数学ノート

京都大学 理系 2016年度 第2問 解説

問題編

【問題】
素数p,qを用いて\[p^q+q^p\]と表される素数をすべて求めよ。

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【考え方】
一見、条件が少なすぎる気がしますが、よく見ると大幅に候補をしぼることができます。pqが、両方奇数、または両方偶数の場合、$p^q+q^p$は偶数になります。これが素数になるには、2しかありませんがそんなことはありえません。このことから、片方が偶数、片方が奇数であることがわかります。つまり、「2と奇数」です。ここまではすぐにわかります。

つぎにさらに絞るためにいくつか計算してみます。$p=2$とすると、$2^3+3^2=17$、$2^5+5^2=57$、$2^7+7^2=177$、$2^{11}+11^2=2169$となります。一つ目は素数で、それよりあとは3の倍数。これらをもとに、qが3じゃないときは$2^q+q^2$が3で割れるんじゃないかと予想して式変形していくと、これが正しいことがわかります。

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試験名: 大学入試, 京大理系, 京都大学
年度: 2016年度
分野: 整数の性質
トピック: 整数
レベル: ふつう
キーワード: 素数, 整数問題
更新日:2016/11/15