京都大学 理系 2016年度 第1問 解説

問題編

【問題】
(1) nを2以上の自然数とするとき、関数\[f_n(\theta) = (1+\cos \theta) \sin^{n-1}\theta\]の$\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (M_n)^n$を求めよ。

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【考え方】
(1)は微分して増減表を書くだけですね。(2)も形からeを使った式になるんだな、というのは簡単に思いつきます。eの定義が出てくるように、少しだけ変形が必要です。