京都大学 理系 2015年度 第6問 解説

問題編

【問題】
2つの関数を
\[
f_0(x) =\frac{x}{2}, \quad f_1(x) = \frac{x+1}{2}
\]とおく。$\displaystyle x_0=\frac{1}{2}$から始め、各$n=1,2,\cdots$ について、それぞれ確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ で $x_n=f_0(x_{n-1})$ または $x_n=f_1(x_{n-1})$ と定める。
このとき、$\displaystyle x_n \lt \frac{2}{3}$ となる確率$P_n$を求めよ。

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【考え方】
「$n$回○○したときに××となる確率」というのは、$n$回目と$n+1$回目の関係から確率の漸化式を出し、数列の問題として解くのがオーソドックスなやり方です。今回は$x_n \lt \frac{2}{3}$となる確率を求めるので、こうなるときに$x_{n-1}$がどうなっていないといけないかを考えてみましょう。

もし、$x_n=f_0(x_{n-1})$だった場合、$x_n \lt \frac{2}{3}$となるには、$x_{n-1} \lt \frac{4}{3}$となる必要があります。一方、$x_n=f_1(x_{n-1})$だった場合、$x_n \lt \frac{2}{3}$となるには、$x_{n-1} \lt \frac{1}{3}$となる必要があります。ということは、$x_{n-1}$が$\frac{4}{3}$未満や$\frac{1}{3}$未満になる確率も求めないといけないということです。

ここで、$x_{n-1} \lt \frac{4}{3}$は常に成り立つことがわかります。というのも、$x\lt 1$のとき、$f_0(x),f_1(x) \lt 1$となるからです。問題は$x_{n-1} \lt \frac{1}{3}$の場合です。

もし、$x_n=f_0(x_{n-1})$だった場合、$x_n \lt \frac{1}{3}$となるには、$x_{n-1} \lt \frac{2}{3}$となる必要があります。一方、$x_n=f_1(x_{n-1})$だった場合、$x_n \lt \frac{1}{3}$となるには、$x_{n-1} \lt -\frac{1}{3}$となる必要があります。$x\gt 0$のとき、$f_0(x),f_1(x) \gt 0$なので、2つ目のケースはありえません。1つ目のケースは求めたい確率そのものです。

これらを組み合わせると、$P_n$に関する漸化式ができあがるので、あとはそれを解けばおしまいです。