京都大学 理系 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、Pを辺ABの中点とし、点Qが辺AC上を動くとする。このとき、$\cos \angle\mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ。

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【考え方】
AQの長さをt などとおいて、$\cos \angle\mathrm{PDQ}$を求めます。いろいろやり方はあると思いますが、ここでは余弦定理を繰り返し使う方法で出してみます。60°がたくさん出てくるので、そんなに苦労せずに$\cos$の値は求められます。

最大値を求めるときに、分母にルートが出てくるので大変です。しかし、そのまま微分する必要はなく、2乗した時の最大値を求めればOKです。