なかけんの数学ノート

京都大学 理系 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、Pを辺ABの中点とし、点Qが辺AC上を動くとする。このとき、$\cos \angle\mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ。

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【考え方】
AQの長さをt などとおいて、$\cos \angle\mathrm{PDQ}$を求めます。いろいろやり方はあると思いますが、ここでは余弦定理を繰り返し使う方法で出してみます。60°がたくさん出てくるので、そんなに苦労せずに$\cos$の値は求められます。

最大値を求めるときに、分母にルートが出てくるので大変です。しかし、そのまま微分する必要はなく、2乗した時の最大値を求めればOKです。

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試験名: 大学入試, 京大理系, 京都大学
年度: 2015年度
分野: 図形と計量, ベクトル, 微分
トピック: 三角比, 空間ベクトル, 微分(理系)
レベル: ふつう
キーワード: 三次元, 最大・最小, 正四面体, 三角比, 余弦定理, 微分, ベクトル, 空間ベクトル, 内積
更新日:2016/11/15