京都大学 理系 2015年度 第3問 解説

問題編

【問題】
(1) aを実数とするとき、$(a,0)$を通り、$y=e^x+1$ に接する直線がただ1つ存在することを示せ。

(2) $a_1=1$ として、$n=1,2,\cdots$について、$(a_n,0)$を通り、$y=e^x+1$に接する直線の接点のx座標を$a_{n+1}$とする。このとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$ を求めよ。

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【考え方】
(1)で、接線に関する条件はすぐに書けますが、問題は「ただ1つ」ってところですね。aに応じて1つだけ定まることは、条件を満たす接点が1つしか存在しないことを示せばOKです。

「接線が$(a,0)$を通る」と考えたほうがいいです。「$(a,0)$を通る直線が接線になる」とやってしまうと、後の計算が大変になってしまいます。これについては、解答後に説明します。

(2)については、(1)の結果を使いますが、$a_n \to \infty$となるのが、少し気づきにくいですね。$y=e^x+1$のグラフを思い浮かべれば、イメージがつきやすいかもしれません。$a_n \to \infty$を示すには、各項の差が1以上であることを利用します。