京都大学 理系 2014年度 第2問 解説

問題編

問題

 2つの粒子が時刻0において、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の頂点 A に位置している。これらの粒子は独立に運動し、それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。たとえば、ある時刻で点 C にいる粒子は、その1秒後には点 A または点 B にそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{2}$ の確率で移動する。この2つの粒子が、時刻0の n 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ。

【広告】

考え方

具体的に見てみましょう。

まず、 $n=1$ のときを考えてみると、片方の粒子がBかCに移動して、もう片方もBかCなので、このときに同じ点にいる確率は $\dfrac{1}{2}$ となることがわかります。

次に、 $n=2$ のときに同じ点にいるときを考えてみます。
$n=1$ のときに片方がBにいたとき、もう片方が $n=1$ のときにBにいたときは、同じ点にいるのは、ともにAに移動・ともにCに移動のどちらかの場合です。 $n=1$ のときに片方がBにいたとき、もう片方が $n=1$ のときにCにいたときは、ともにAに移動した場合だけです。
また、 $n=1$ のときに片方がCにいたとき、もう片方が $n=1$ のときにBにいたときは、ともにAに移動する場合だけ。 $n=1$ のときに片方がCにいたとき、もう片方も $n=1$ のときにCにいたときは、ともにAに移動・ともにBに移動の場合です。

このことからわかるのは、 $n=2$ のときに同じ点にいるかどうかは、 $n=1$ のときの状況によって違ってくる、ということです。もう少し考えると、 $n=1$ のときに同じ点にいた場合、 $n=2$ のときにも同じ点にいるのは、2つの粒子が同じ動きをするときです(ともにBからともにCに移動など)。一方、 $n=1$ のときに同じ点にいない場合、 $n=2$ のときに同じ点にいるのは、2つの粒子が空いている点に移動するときです(BとCのそれぞれからともにAに移動)。

1秒前の状況によって、そのときの状況が決まるので、 $p(n+1)$ と $p(n)$ との関係式を作り、漸化式を解けばいいことがわかります。また、「2つの粒子がそれぞれどの点にいるか」は重要ではなく、「2つの粒子が同じ点にいるかどうか」だけに注目すればいい、という点にも注意して、式を作りましょう。