なかけんの数学ノート

京都大学 理系 2012年度 第4問 解説

解答編

問題

(1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。
(2) $P(x)$ は有理数を係数とする x の多項式で $P(\sqrt[3]{2})=0$ を満たしているとする。このとき $P(x)$ は $x^3-2$ で割り切れることを証明せよ。

解答

(1)
$\sqrt[3]{2}$ が有理数だとすると、互いに素な自然数 p, q を使って\[\sqrt[3]{2}=\frac{q}{p}\]とかける。この式から\[ 2p^3=q^3 \]が得られる。このことから、 q は偶数であることがわかる。よって右辺は $8$ の倍数なので p も偶数となる。これは、 p, q が互いに素であることに矛盾する。

よって、 $\sqrt[3]{2}$ は無理数である。

(2)
$P(x)$ を $x^3-2$ で割ったときの余りを $ax^2+bx+c$ とおく。 $P(x)$ も $x^3-2$ も係数が有理数なので、 a, b, c は有理数となる。また、 $P(\sqrt[3]{2})=0$ だから\[ a\sqrt[3]{2^2}+b\sqrt[3]{2}+c=0 \]が成り立つ。

$a\ne0$ とすると、\[ \sqrt[3]{2^2}=-\frac{b}{a}\sqrt[3]{2}-\frac{c}{a} \]が成り立つ。このことから
\begin{eqnarray}
2
&=&
\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2^2} \\[5pt]
&=&
\sqrt[3]{2} \times \left(-\frac{b}{a}\sqrt[3]{2}-\frac{c}{a}\right) \\[5pt]
&=&
-\frac{b}{a}\sqrt[3]{2^2} -\frac{c}{a}\sqrt[3]{2} \\[5pt]
&=&
-\frac{b}{a}\left(-\frac{b}{a}\sqrt[3]{2}-\frac{c}{a}\right) -\frac{c}{a}\sqrt[3]{2} \\[5pt]
&=&
\frac{b^2}{a^2}\sqrt[3]{2}+\frac{bc}{a^2} -\frac{c}{a}\sqrt[3]{2} \\[5pt]
&=&
\frac{b^2-ac}{a^2}\sqrt[3]{2}+\frac{bc}{a^2} \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つので、
\begin{eqnarray}
\frac{b^2-ac}{a^2}\sqrt[3]{2} = 2-\frac{bc}{a^2}
\end{eqnarray}が成り立つ。ここで、 $\dfrac{b^2-ac}{a^2}$ が $0$ でなければこれで両辺を割ると $\sqrt[3]{2}$ が有理数であることになり、(1)の結果と矛盾する。よって、 $\dfrac{b^2-ac}{a^2}=0$ だから、\[ c=\frac{b^2}{a} \]が成り立つ。また\[ 2-\frac{bc}{a^2}=0 \]も成り立つから、この c に代入して
\begin{eqnarray}
2-\frac{b}{a^2}\times \frac{b^2}{a} &=& 0 \\[5pt]
2 &=& \frac{b^3}{a^3} \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。この式は、有理数 $\dfrac{b}{a}$ を3乗すると $2$ になることを示しているが、これは(1)で示した $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることに矛盾する。

以上から、 $a=0$ である。また、このとき、\[ b\sqrt[3]{2}+c=0 \]であり、 $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることから、 b も $0$ で、 c も $0$ であることがわかる。よって、 $P(x)$ を $x^3-2$ で割った余りが $0$ となることから、割り切れることがわかる。

(終)

解説

(2)では、余りの式に $x=\sqrt[3]{2}$ を代入すれば $0$ になる、という条件はすぐにわかりますが、それだけだと3つの文字を扱うのは難しいです。ポイントはこの式を「 $\sqrt[3]{2^2}=$ 」の形にして次数下げとして使う点、そして、 $2$ というこの問題でもっとも扱いやすい有理数を使う点です。なかなか気づきにくいですが。

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試験名: 大学入試, 京大理系, 京都大学
年度: 2012年度
分野: 式と証明
トピック: 式の計算
レベル: ややむずい
キーワード: 余り, 無理数, 式を式で割った余り
更新日:2017/07/28