なかけんの数学ノート

京都大学 文系 2017年度 第4問 解説

解答編

問題

 p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha=\frac{1}{p},\ \tan \beta =\frac{1}{q} \] を満たす実数とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 次の条件\[ (\mathrm{ A }) \quad \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ のうち、 $q\leqq 3$ であるものをすべて求めよ。

(2) 条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす p, q の組 $(p,q)$ で、 $q\gt 3$ であるものは存在しないことを示せ。

解答

$\tan\alpha, \tan\beta \gt 0$ より $\alpha, \beta$ に対し、\[ \alpha=\alpha’+n\pi,\ \beta=\beta’+m\pi \]をみたす、 $0\lt \alpha’,\beta’ \lt \dfrac{\pi}{2}$ と整数 n, m が存在する。このとき
\begin{eqnarray}
\tan(\alpha+2\beta)
&=&
\tan(\alpha’ +n\pi +2\beta’+2m\pi) \\
&=&
\tan(\alpha’+2\beta’) \\
\end{eqnarray}なので、以下では、 $\alpha’,\beta’$ を $\alpha,\beta$ ととらえなおすことにより、 $0\lt \alpha,\beta \lt \dfrac{\pi}{2}$ としてよい。

さらに、 $\tan\alpha, \tan\beta \leqq 1$ より、 $0\lt \alpha,\beta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ が得られる。これより $0\lt \alpha+2\beta \leqq \dfrac{3}{4}\pi$ であり、条件 $(\mathrm{ A })$ を考えるもとでは $0\lt \alpha+2\beta \lt \dfrac{1}{2}\pi$ が成り立つ。

(1)
$0\lt \alpha+2\beta \lt \dfrac{1}{2}\pi$ より、 $0\lt \beta \lt \dfrac{1}{4}\pi$ だから、 $q\leqq 3$ なら $q=2,3$ の場合を考えるだけでよい。

ここで
\begin{eqnarray}
\tan 2\beta
&=&
\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} \\[5pt]
&=&
\frac{2\cdot\frac{1}{q}}{1-\frac{1}{q^2}} \\[5pt]
&=&
\frac{2q}{q^2-1} \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、 $q=2$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$, $q=3$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{3}{4}$ であることがわかる。

また、
\begin{eqnarray}
\tan(\alpha+2\beta)
&=&
\frac{\tan\alpha +\tan2\beta}{1-\tan\alpha \tan2\beta} \\[5pt]
&=&
\frac{\frac{1}{p} +\tan2\beta}{1-\frac{1}{p} \cdot \tan2\beta} \\[5pt]
&=&
\frac{1 +p\tan2\beta}{p-\tan2\beta} \\[5pt]
\end{eqnarray}と変形できる。これが2となる条件は
\begin{eqnarray}
2 &=& \frac{1 +p\tan2\beta}{p-\tan2\beta} \\[5pt]
2(p-\tan2\beta) &=& 1 +p\tan2\beta \\[5pt]
p(2-\tan2\beta) &=& 2\tan2\beta+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つことと同値である。 $q=2$ のとき $\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$ なので、この式から
\begin{eqnarray}
p\left(2-\frac{4}{3}\right) &=& 2\cdot \frac{4}{3}+1 \\[5pt]
\frac{2}{3}p &=& \frac{11}{3} \\[5pt]
p &=& \frac{11}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、自然数ではないから、これは条件を満たさない。一方、 $q=3$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{3}{4}$ なので
\begin{eqnarray}
p\left(2-\frac{3}{4}\right) &=& 2\cdot \frac{3}{4}+1 \\[5pt]
\frac{5}{4}p &=& \frac{5}{2} \\[5pt]
p &=& 2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、条件を満たす。

以上から、求める組は、 $(p,q)=(2,3)$ となる。

(2)
$q\gt 3$ つまり $q\geqq 4$ の条件下で考える。

kyoto-u-b-2017-4-01
この範囲で p が一番大きくなる時を考える。これは $\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ だから $\alpha$ が一番小さくなるときである。また、 $\tan(\alpha+2\beta)$ が一定なので、これは $\beta$ が一番大きくなる時でもあり、 $\tan\beta=\dfrac{1}{q}$ から、 q が一番小さくなる時でもある。今考えている範囲では、これは $q=4$ のときである。

(1)で求めた通り\[ \tan 2\beta = \frac{2q}{q^2-1}\]なので、 $q=4$ とすると\[ \tan 2\beta = \frac{8}{15} \]が得られる。また、同じく(1)で求めた通り、$(\mathrm{ A })$ が成り立つなら\[ p(2-\tan2\beta) = 2\tan2\beta+1 \]が成り立つので、このときの p
\begin{eqnarray}
p\left(2-\frac{8}{15}\right) &=& 2\cdot \frac{8}{15}+1 \\[5pt]
\frac{22}{15}p &=& \frac{31}{15} \\[5pt]
p &=& \frac{31}{22} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。よって、 p は最大でも $\dfrac{31}{22}$ なので、条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす自然数 p があるとしたら、 $p=1$ しかない。

このとき $p=1$ として q を求めると
\begin{eqnarray}
p(2-\tan2\beta) &=& 2\tan2\beta+1 \\[5pt]
1-3\tan2\beta &=& 0 \\[5pt]
1-3 \cdot \frac{2q}{q^2-1} &=& 0 \\[5pt]
q^2-6q-1 &=& 0 \\[5pt]
q &=& 3\pm\sqrt{10}
\end{eqnarray}なので、条件を満たす $p,q$ は存在しないことがわかる。

(終)

解説

$q=1$ のときは、加法定理が使えないので、個別に検証するか上のようにはじめから該当しないことを言及しておきましょう。

(1)は $q=2,3$ のときだけを調べればいいので、値を具体的に求めながら解いていくといいでしょう。

(2)は、「3」の使い方が難しいですが、 p, q が大きくなると、 $\alpha$ も $\beta$ も小さくなり、条件(A)を満たすことが難しくなる、という発想があると、ひらめきやすいかもしれません。

なお、この問題は、理系第3問には誘導なしでバージョンで出題されています。誘導がないと答えの予想がつかず、難易度はかなり上がります。

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試験名: 大学入試, 京大文系, 京都大学
年度: 2017年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ややむずい
キーワード: 加法定理, 倍角の公式, 三角関数
更新日:2017/02/27