京都大学 文系 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha=\frac{1}{p},\ \tan \beta =\frac{1}{q} \] を満たす実数とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 次の条件\[ (\mathrm{ A }) \quad \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ のうち、 $q\leqq 3$ であるものをすべて求めよ。

(2) 条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす p, q の組 $(p,q)$ で、 $q\gt 3$ であるものは存在しないことを示せ。

【広告】

考え方

(1)は、加法定理と倍角の公式を使って条件を求めていきます。すべて変形してから最後に値を代入すると大変なので、少しずつ変形と代入を繰り返す方がいいでしょう。

(2)は、 p, q が大きくなると、条件を満たすことが難しいということに気づきましょう。一般的な計算をしなくても、特殊な条件だけを考えるだけでOKなことがわかります。

なお、この問題は、理系第3問の類題です。理系の問題では、誘導がありません。