京都大学 文系 2017年度 第3問 解説

解答編

問題

 座標空間において原点 O と点 $\mathrm{ A }(0,-1,1)$ を通る直線を l とし、点 $\mathrm{ B }(0,2,1)$ と点 $\mathrm{ C }(-2,2,-3)$ を通る直線を m とする。 l 上の2点 P, Q と、 m 上の点 R を $\triangle \mathrm{ PQR }$ が正三角形となるようにとる。このとき、 $\triangle \mathrm{ PQR }$ の面積が最小となるような P, Q, R の座標を求めよ。

解答

R から、直線 l へ垂線を1本ひくことができる。この垂線の足を S とおく。 S を中心に半径 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の球と直線 l との共有点は2点あり、それを P, Q とすると、三角形 PQR は正三角形になる。また、点 R を頂点とする正三角形のうち、この作り方でできないものはない。よって、正三角形 PQR の面積は点 R の座標によって定まる。

実数 r を用いて、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OR } } = \overrightarrow{ \mathrm{ OB } } + r \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }$ とかける。これを成分で書くと
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ OR } }
&=&
(0,2,1) + r(-2,0,-4) \\
&=&
(-2r, 2, -4r+1) \\
\end{eqnarray}となる。また、実数 s を用いて $\overrightarrow{ \mathrm{ OS } } = s\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ とかける。これを成分で書くと
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ OS } }
&=&
s(0,-1,1) \\
&=&
(0,-s,s) \\
\end{eqnarray}となる。ここで、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ RS } }$ は垂直に交わるので、内積が0になることから
\begin{eqnarray}
(0,-1,1) \cdot \left(0-(-2r),-s-2,s-(-4r+1)\right) &=& 0 \\
(0,-1,1) \cdot (2r,-s-2,s+4r-1) &=& 0 \\
-(-s-2)+(s+4r-1) &=& 0 \\
s+2+s+4r-1 &=& 0 \\
r &=& \frac{-2s-1}{4}
\end{eqnarray}となる。ここで、正三角形 PQR の面積が最小になることと、 RS が最小になることは同値であるから、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ RS }^2
&=&
(2r)^2+(-s-2)^2+(s+4r-1)^2 \\[5pt] &=&
\left(\frac{-2s-1}{2}\right)^2 +(s^2+4s+4)+(s-2s-1-1)^2 \\[5pt] &=&
s^2+s+\frac{1}{4} +s^2+4s+4 +s^2+4s+4 \\[5pt] &=&
3s^2+9s+\frac{33}{4} \\[5pt] &=&
3 \left(s+\frac{3}{2}\right)^2 -\frac{27}{4} +\frac{33}{4} \\[5pt] &=&
3 \left(s+\frac{3}{2}\right)^2 +\frac{3}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、最小となるのは $s=-\dfrac{3}{2}$ のときであることがわかる。また、このとき $\mathrm{ RS }=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ である。

このとき
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{1}{4} \left\{-2\left(-\dfrac{3}{2}\right) -1\right\} \\[5pt] &=& \frac{1}{4} (3 -1) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、R の座標は
\begin{eqnarray}
(-2r, 2, -4r+1)
&=&
(-1, 2, -1)
\end{eqnarray}であることがわかる。

また、S の座標は
\begin{eqnarray}
(0,-s,s)
&=&
\left(0,\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}\right)
\end{eqnarray}であり、 $\mathrm{ RS } = \dfrac{\sqrt{6}}{2} $なので、 P, QS から $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ と平行な方向に\[ \dfrac{\sqrt{6}}{2}\div \sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]だけ移動した点である。よって、 S から $\left(0,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ だけ足すか引けばよいので、 P, Q, R の座標は\[ \mathrm{ P }(0,1,-1),\ \mathrm{ Q }(0,2,-2),\ \mathrm{ R }(-1,2,-1) \]または\[ \mathrm{ P }(0,2,-2),\ \mathrm{ Q }(0,1,-1),\ \mathrm{ R }(-1,2,-1) \]となる。

(終)

解説

正三角形の面積は、一辺の長さや高さがわかれば求めることができます。今の場合、2直線が一番近づくときを求めるのが簡単そうなので、これを目標にします。

直線 m 上の点から l へ垂線をおろし、その足までの距離が最小のときを考える。このときに対応する正三角形の面積が最小になります。これをベクトルを使って書けば、最小となると木の R の位置が求められます。高さが分かるので1辺の長さもわかり、他の2点の座標も求めることができます。