京都大学 文系 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

 座標空間において原点 O と点 $\mathrm{ A }(0,-1,1)$ を通る直線を l とし、点 $\mathrm{ B }(0,2,1)$ と点 $\mathrm{ C }(-2,2,-3)$ を通る直線を m とする。 l 上の2点 P, Q と、 m 上の点 R を $\triangle \mathrm{ PQR }$ が正三角形となるようにとる。このとき、 $\triangle \mathrm{ PQR }$ の面積が最小となるような P, Q, R の座標を求めよ。

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考え方

ベクトルで考えながら解くと取り組みやすいでしょう。三角形の面積を出すなら必要な値がいくつかありますが、正三角形の場合は1つあれば十分です。状況を考えて、正三角形の面積を表すのに何を使えば解きやすいかを考えましょう。