京都大学 文系 2017年度 第2問 解説

問題編

問題

 次の問に答えよ。ただし、 $0.3010 \lt \log_{10}2 \lt 0.3011$ であることは用いてよい。

(1) 100桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。
(2) 100桁の自然数で、2と5以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。

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考え方

(1)はよくあるパターンです。 $2^n$ の形でかけるものがいくつあるか数えればいいですね。

(2)は、かなり難しいです。(1)では「100桁以下」となっていたところが「100桁」となっていることにまず注意しましょう。

3桁の場合ならどうなるかを、少し書き出してみましょう。5のべき乗が少ないものが手前に来ていて、2のべき乗が少ないものがさらに手前に来るように並べています。

  • 128, 256, 512, 160, 320, 640, 100, 200, 400, 800, 125, 250, 500, 625

これを、次のように並び替えてみましょう。

  • 128, 256, 512, 125, 625
  • 160, 320, 640, 250
  • 100, 200, 400, 800, 500

数字の右側に0がいくつ並びか、で分けてみました。こうすると何か気づくことはないでしょうか。0を取り除いて考えてみると、

  • 1行目:「2以外の素因数を持たない3桁の自然数」「5以外の素因数を持たない3桁の自然数」
  • 2行目:「2以外の素因数を持たない2桁の自然数」「5以外の素因数を持たない2桁の自然数」
  • 3行目:「2以外の素因数を持たない1桁の自然数」「5以外の素因数を持たない1桁の自然数」

となります。数字の右側に0が入るのは、素因数に2と5の両方を含むからですからね。0を取り除くと、素因数が2だけのもの、5だけのものしか残りません。

これを縦に足せば、「2以外の素因数を持たない3桁 “以下” の自然数」と「5以外の素因数を持たない3桁 “以下” の自然数」が出てきます。この形になると、(1)が使えそうですね。