京都大学 文系 2016年度 第5問 解説

問題編

【問題】
実数を係数とする3次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し、次の条件を考える。

(イ) 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し、$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である。
(ロ) 方程式$f(x)=0$の解は虚数解を少なくとも1つもつ。

この2つの条件(イ)、(ロ)を同時に満たす3次式をすべて求めよ。

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【考え方】
解に関する条件が与えられているので、まず解がどうなるかを考えてから3次式を特定する、という順番で考えていきます。

条件を使って、候補を絞っていくところから始めます。条件(ロ)から、実数解1つと虚数解2つをもつことがわかります。条件(イ)より、この実数解は3乗するとどれかの解になりますが、それは実数なので、実数解は0、1、-1のどれかになる、というのはすぐにわかります。

虚数解については、条件(イ)を使って式を作っていくだけですが、複雑なので落ち着いて考えないと間違えてしまいます。

(2016/4/18 追記:以前載せていた解答は、複素数平面の知識が必要な解き方でした。そのため、複素数平面の知識がなくてもわかる解答に修正し、以前掲載していた解答は別解として最後にのせるようにしました。まぎらわしくてすみません。)