なかけんの数学ノート

京都大学 文系 2015年度 第5問 解説

問題編

【問題】
 $a,b,c,d,e$を正の有理数として整式
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ax^2+bx+c \\
g(x) &=& dx+e
\end{eqnarray}を考える。すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする。このとき、$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ。

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【考え方】
抽象的で手の付けづらい問題です。ちなみに、理系第5問の易しいバージョンです。

2次式を1次式で割るので、余りは定数です。割り切れることを示すということは、この定数が0になることを示すということです。今、余りは $\displaystyle c-\frac{e}{d}b-\frac{e^2}{d^2}a$ と具体的に書くことはできます。しかし、ここから先に進むことができません。条件から、$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数ですが、その値については何もわからないので、$a,b,c$と$d,e$の間の関係式は出てきません。

ですので、別の道を考えてみます。割り算の問題でよくあるのは、商と余りを使って次のように書く方法です。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& (px+q) g(x) + r
\end{eqnarray}
$f$と$g$の各係数が有理数なので、$p,q,r$も有理数になります。さて、ここで$r=0$が言えないかを考えてみます。条件にある$\frac{f(n)}{g(n)}$が出てくるように$g(x)$で両辺を割ると
\begin{eqnarray}
\frac{f(x)}{g(x)} &=& px+q + \frac{r}{dx+e}
\end{eqnarray}となります。条件から、$x$にどんな正の整数を入れても、この式は整数になります。

ここで注目したいのが、$\frac{r}{dx+e}$の部分です。$x$にとても大きな整数を入れていくと、これは0に近づいていきます。上の式で$p$の分母、$q$の分母を両辺にかけると、最後の項以外が整数であることは明らかです。$x$に大きな整数を入れると最後の項の絶対値を1より小さくすることができるので、0になることが言えます。これで、$r=0$が言えそうです。ここまでのことをまとめましょう。

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試験名: 大学入試, 京大文系, 京都大学
年度: 2015年度
分野: 整数の性質, 式と証明
トピック: 整数, 式の計算
レベル: むずかしい
キーワード: 整数問題, 式を式で割った余り, 何をどうしたらいいのかわからない問題
更新日:2016/11/15