京都大学 文系 2014年度 第1問 解説

問題編

問題

 $0^{\circ}\leqq \theta \lt 90^{\circ}$ とする。 x についての4次方程式\[ \{ x^2 -2(\cos \theta)x -\cos\theta +1 \} \{ x^2+2(\tan\theta)x+3 \} =0 \]は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ。

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考え方

4次方程式と言っても、2次式の積になっているので扱いやすいです。「虚数解を持つかどうか」を考えるには、それぞれの判別式を考えればいいですね。両方が0以上になることがない、を示せれば、虚数解が少なくとも1つあることが示せます。