なかけんの数学ノート

京都大学 文系 2013年度 第3問 解説

解答編

問題

 nk を自然数とし、整数 $x^n$ を整式 $(x-k)(x-k-1)$ で割った余りを $ax+b$ とする。

(1) ab は整数であることを示せ。
(2) ab をともに割り切る素数は存在しないことを示せ。

解答

(1)
$x^n$ を $(x-k)(x-k-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とおく。すると、\[ x^n=(x-k)(x-k-1)Q(x)+ax+b \]と書ける。

ここで、 $x=k$ とすると\[ k^n=ak+b \]となり、 $x=k+1$ とすると\[ (k+1)^n=a(k+1)+b \]が得られる。

この2つの式を辺々引くと\[ (k+1)^n-k^n = a \]が得られる。 n, k は自然数だから、 a が整数であることがわかる。

また、\[ b=k^n-ak \]より、 b も整数であることがわかる。

よって、 a, b はともに整数である。

(2)
a, b がともに素数 p で割り切れるとすると、(1)の途中で導いた2つの式
\begin{eqnarray}
k^n &=& ak+b \\[5pt]
(k+1)^n &=& a(k+1)+b \\[5pt]
\end{eqnarray}から、 $k^n$ も $(k+1)^n$ も p で割り切れる。 p は素数なので、 $k$ も $k+1$ もともに p で割り切れる。よって、この差も p の倍数となるが、差は $1$ なので、素数 p で割り切れることはない。

よって、 a, b をともに割り切る素数は存在しない。

(終)

解説

(1)は、剰余の定理を応用して考えます。n, k が自然数であることから、すぐに示せます。

(2)は、 a, b を直接使うよりも、 k の話にするほうが考えやすくなります。ともに割り切れるなら、差も割り切れる、ということを利用して、「割り切れるなら、矛盾する」ことを示します。

参考

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試験名: 大学入試, 京大文系, 京都大学
年度: 2013年度
分野: 式と証明
トピック: 式の計算
レベル: ふつう
キーワード: 素数, 式を式で割った余り
更新日:2017/07/25