なかけんの数学ノート

京都大学 文系 2006年度 第5問 解説

問題編

【問題】
 n,kは自然数で$k\leqq n$とする。穴の開いた$2k$個の白玉と$2n-2k$個の黒玉にひもを通して輪を作る。このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、どちらの組も白玉k個、黒玉$n-k$個からなるようにできることを示せ。

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【考え方】
出ました! よくわからない問題です。問題文にははっきりとは書かれていませんが、白と黒の順番は適当ということでしょう。

まずは、具体的な数を入れて考えてみましょう。$n=3,k=1$としてみます。つまり、玉は全部で6個で、白が2個、黒が4個、ということです。

「黒白黒白黒黒」と並んでいたとしましょう。一番はじめと最後がつながっている、と考えてください。
kyoto-u-b-2006-5-01

このときは、3個目から5個目までとそれ以外の組に分ければ、「どちらも白1個、黒2個」になります。
kyoto-u-b-2006-5-02

また、「黒白黒黒黒白」と並んでいたら、1個目から3個目までと4個目から6個目までの2組に分ければいいです。
kyoto-u-b-2006-5-03

このように、どちらの組も、白玉と黒玉がそれぞれ同じ個数ずつになるように分けることができる、ということですね。もちろん、ひもでつながっているので順番を変えることはできません。

状況は分かったものの、それを説明するのは結構大変です。白と黒の並び方がバラバラなので、組の分け方もいろいろありえます。ここでは、組の分け方を変えると、白と黒の数がどう変わるかに注目して解答していくことにします。

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試験名: 大学入試, 京大文系, 京都大学
年度: 2006年度
分野: 整数の性質
トピック: 整数
レベル: むずかしい
キーワード: 整数問題, 存在, 何をどうしたらいいのかわからない問題
更新日:2016/11/15