センター試験数学II・数学B 2018年度第4問解説

🕒 2018/01/15 🔄 2023/05/01

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　a を $0\lt a \lt 1$ を満たす定数とする。三角形 ABC を考え、辺 AB を $1:3$ に内分する点を D, 辺 BC を $a:(1-a)$ に内分する点を E, 直線 AE と直線 CD の交点を F とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ FA } }=\vec{p}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FB } }=\vec{q}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FC } }=\vec{r}$ とおく。

(1) $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }=\myBox{ア}$ であり\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2 =|\vec{p}|^2-\myBox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \quad \cdots ① \]である、ただし、 $\myBox{ア}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $\vec{p}+\vec{q}$
　1: $\vec{p}-\vec{q}$
　2: $\vec{q}-\vec{p}$
　3: $-\vec{p}-\vec{q}$

(2) $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表すと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=\frac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} } \vec{p} +\frac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} } \vec{q} \quad \cdots ② \]である。

(3) s, t をそれぞれ $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ となる実数とする。 s と t を a を用いて表そう。

　$\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$ であるから、②により\[ \vec{q}=\myBox{キク}\vec{p}+\myBox{ケ}s\vec{r} \quad \cdots ③ \]である。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ であるから\[ \vec{q}=\frac{t}{\myBox{コ}-\myBox{サ} }\vec{p} -\frac{\myBox{シ} }{\mybox{コ}-\mybox{サ} }\vec{r} \quad \cdots ④ \]である。③と④により
\begin{eqnarray} s &=& \frac{\myBox{スセ} }{\myBox{ソ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)} \\[5pt] t &=& \myBox{タチ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right) \end{eqnarray}である。
(4) $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|$ とする。 $|\vec{p}|=1$ のとき、 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の内積を a を用いて表そう。

　①により\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2=1-\mybox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \]である。また
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|^2 &=& \myBox{ツ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)^2 \\[5pt] & & +\myBox{テ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \\[5pt] \end{eqnarray}である。したがって\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=\frac{\myBox{トナ}-\myBox{ニ} }{\myBox{ヌ} } \]である。

考え方

内分点やベクトルの絶対値、内積などについて、幅広く出題されています。また、(3)は交点を2通りで求めて係数比較、というよくある流れです。

計算が少しごちゃごちゃするところはありますが、標準的な計算量でしょう。問題の見た目ほど、大変ではありません。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　a を $0\lt a \lt 1$ を満たす定数とする。三角形 ABC を考え、辺 AB を $1:3$ に内分する点を D, 辺 BC を $a:(1-a)$ に内分する点を E, 直線 AE と直線 CD の交点を F とする。 $\overrightarrow{ \mathrm{ FA } }=\vec{p}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FB } }=\vec{q}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FC } }=\vec{r}$ とおく。

(1) $\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }=\myBox{ア}$ であり\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2 =|\vec{p}|^2-\myBox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \quad \cdots ① \]である、ただし、 $\myBox{ア}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　0: $\vec{p}+\vec{q}$
　1: $\vec{p}-\vec{q}$
　2: $\vec{q}-\vec{p}$
　3: $-\vec{p}-\vec{q}$

解説

\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AB } } &=& \overrightarrow{ \mathrm{ AF } }+\overrightarrow{ \mathrm{ FB } } \\[5pt] &=& -\overrightarrow{ \mathrm{ FA } }+\overrightarrow{ \mathrm{ FB } } \\[5pt] &=& -\vec{p}+\vec{q} \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} |\mathrm{ AB }|^2 &=& |-\vec{p}+\vec{q}|^2 \\[5pt] &=& |\vec{p}|^2 -2\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：22

解答編つづき

問題

(2) $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表すと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=\frac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} } \vec{p} +\frac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} } \vec{q} \quad \cdots ② \]である。

解説

D は線分 AB を $1:3$ に内分する点なので、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ FD } } &=& \frac{3}{4} \overrightarrow{ \mathrm{ FA } } +\frac{1}{4} \overrightarrow{ \mathrm{ FB } } \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \vec{p} +\frac{1}{4} \vec{q} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ウエオカ：3414

解答編つづき

問題

(3) s, t をそれぞれ $\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ となる実数とする。 s と t を a を用いて表そう。

　$\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$ であるから、②により\[ \vec{q}=\myBox{キク}\vec{p}+\myBox{ケ}s\vec{r} \quad \cdots ③ \]である。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=t\vec{p}$ であるから\[ \vec{q}=\frac{t}{\myBox{コ}-\myBox{サ} }\vec{p} -\frac{\myBox{シ} }{\mybox{コ}-\mybox{サ} }\vec{r} \quad \cdots ④ \]である。③と④により
\begin{eqnarray} s &=& \frac{\myBox{スセ} }{\myBox{ソ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)} \\[5pt] t &=& \myBox{タチ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right) \end{eqnarray}である。

解説

$\overrightarrow{ \mathrm{ FD } }=s\vec{r}$ を②に代入すると
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ FD } } &=& \frac{3}{4} \vec{p} +\frac{1}{4} \vec{q} \\[5pt] s\vec{r} &=& \frac{3}{4} \vec{p} +\frac{1}{4} \vec{q} \\[5pt] 4s\vec{r} &=& 3\vec{p} +\vec{q} \\[5pt] \vec{q} &=& -3\vec{p} +4s\vec{r} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

また、 E は線分 BC を $a:(1-a)$ に内分する点なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ FE } } &=& (1-a) \overrightarrow{ \mathrm{ FB } } +a \overrightarrow{ \mathrm{ FC } } \\[5pt] &=& (1-a) \vec{q} +a \vec{r} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、これが $t\vec{p}$ でもあるので、 \begin{eqnarray} t\vec{p} &=& (1-a) \vec{q} +a \vec{r} \\[5pt] (1-a) \vec{q} &=& t\vec{p}-a \vec{r} \\[5pt] \vec{q} &=& \frac{t}{1-a}\vec{p}-\frac{a}{1-a} \vec{r} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

③と④で、 $\vec{p}$, $\vec{r}$ は平行ではなく、どちらも $\vec{0}$ とは異なるので、係数は同じになります。 $\vec{p}$ の係数から
\begin{eqnarray} -3 &=& \frac{t}{1-a} \\[5pt] t &=& -3(1-a) \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。また、 $\vec{r}$ の係数から \begin{eqnarray} 4s &=& -\frac{a}{1-a} \\[5pt] s &=& -\frac{a}{4(1-a)} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

解答

キクケ：-34
コサシ：1aa
スセソ：-a4
タチ：-3

解答編つづき

問題

(4) $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|$ とする。 $|\vec{p}|=1$ のとき、 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の内積を a を用いて表そう。

　①により\[ |\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2=1-\mybox{イ}\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \]である。また
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|^2 &=& \myBox{ツ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)^2 \\[5pt] & & +\myBox{テ}\left(\mybox{コ}-\mybox{サ}\right)\vec{p}\cdot\vec{q} +|\vec{q}|^2 \\[5pt] \end{eqnarray}である。したがって\[ \vec{p}\cdot\vec{q}=\frac{\myBox{トナ}-\myBox{ニ} }{\myBox{ヌ} } \]である。

解説

$\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }=\overrightarrow{ \mathrm{ BF } }+\overrightarrow{ \mathrm{ FE } }=-\vec{q}+t\vec{p}$ と計算できるので
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|^2 &=& t^2|\vec{p}|^2 -2t\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、 $|\vec{p}|=1$ であり、先ほど求めた通り $t=-3(1-a)$ なので \begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|^2 &=& 9(1-a)^2+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \end{eqnarray}となります。

$|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|^2=1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2$ なので、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BE } }|$ となるとすると
\begin{eqnarray} 1-2\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 &=& 9(1-a)^2+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2 \\[5pt] 1-2\vec{p}\cdot\vec{q} &=& 9(1-a)^2+6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q} \\[5pt] -6(1-a)\vec{p}\cdot\vec{q}-2\vec{p}\cdot\vec{q} &=& 9(1-a)^2-1 \\[5pt] (-6+6a-2)\vec{p}\cdot\vec{q} &=& 9(a^2-2a+1)-1 \\[5pt] \vec{p}\cdot\vec{q} &=& \frac{9a^2-18a+8}{6a-8} \\[5pt] &=& \frac{(3a-2)(3a-4)}{2(3a-4)} \\[5pt] &=& \frac{3a-2}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。