センター試験 数学II・数学B 2018年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$第4項が $30$ 、初項から第8項までの和が $288$ である等差数列を $\{a_n\}$ とし、 $\{a_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_n$ とする。また、第2項が $36$ 、初項から第3項までの和が $156$ である等比数列で公比が $1$ より大きいものを $\{b_n\}$ とし、 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和を $T_n$ とする。

(1) $\{a_n\}$ の初項は $\myBox{アイ}$ 、 公差は $\myBox{ウエ}$ であり、\[ S_n=\myBox{オ}n^2 -\myBox{カキ}n \]である。

(2) $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{クケ}$ 、 公比は $\myBox{コ}$ であり、\[ T_n=\myBox{サ} \left(\myBox{シ}^n-\myBox{ス}\right) \]である。

(3) 数列 $\{ c_n \}$ を次のように定義する。
\begin{eqnarray}
c_n
&=&
\sum_{k=1}^n (n-k+1)(a_n-b_n) \\[5pt] &=&
n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n) \\[5pt] & &
(n=1,2,3,\cdots )
\end{eqnarray}たとえば
\begin{eqnarray}
c_1 &=& a_1-b_1 \\[5pt] c_2 &=& 2(a_1-b_1)+(a_2-b_2) \\[5pt] c_3 &=& 3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3) \\[5pt] \end{eqnarray}である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよう。

 $\{c_n\}$ の階差数列を $\{d_n\}$ とする。 $d_n=c_{n+1}-c_n$ であるから、 $d_n=\myBox{セ}$ を満たす。 $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 7 のうちから一つ選べ。

 0: $S_n+T_n$
 1: $S_n-T_n$

 2: $-S_n+T_n$
 3: $-S_n-T_n$

 4: $S_{n+1}+T_{n+1}$
 5: $S_{n+1}-T_{n+1}$

 6: $-S_{n+1}+T_{n+1}$
 7: $-S_{n+1}-T_{n+1}$

 したがって、(1)と(2)より\[ d_n=\myBox{ソ}n^2 -2\cdot \myBox{タ} ^{n+\myBox{チ}} \]である。 $c_1=\myBox{ツテト}$ であるから、 $\{c_n\}$ の一般項は\[ c_n=\myBox{ナ}n^2 -\myBox{ニ}n^2+n+\myBox{ヌ}-\mybox{タ}^{n+\myBox{ネ}} \]である。

考え方

(1)(2)でもわりと計算が面倒ですが、(3)はそれを上回るしんどさです。

セは、難しいですが、各 $(a_i-b_i)$ が何回足されるかを考えれば、わかりやすいかもしれません。ここは、少しズルいですが、 $n=1$ の場合を考えて、選択肢から選んでしまう、とやってしまってもいいかもしれません。

後半は、 n なのか、 $n+1$ なのか、 $n-1$ なのか、どれを扱っているかに注意しながら計算しましょう。計算量が多く、煩雑なので、かなり大変です。