センター試験 数学II・数学B 2018年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　$p\gt 0$ とする。座標平面上の放物線 $y=px^2+qx+r$ を C とし、直線 $y=2x-1$ を l とする。 C は点 $\mathrm{ A }(1,1)$ において l と接しているとする。

(1) q と r を、 p を用いて表そう。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きは $\myBox{ア}$ であることから、 $q=\myBox{イウ}p+\myBox{エ}$ がわかる。さらに、 C は点 A を通ることから、 $r=p-\myBox{オ}$ となる。

(2) $v\gt 1$ とする。放物線 C と直線 l および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 S は\[ S=\frac{p}{\myBox{カ} } \left(v^3 -\myBox{キ}v^2 +\myBox{ク}v -\myBox{ケ}\right) \]である。また、 x 軸と l および2直線 $x=1,x=v$ で囲まれた図形の面積 T は、 $T=v^\myBox{コ}-v$ である。

　$U=S-T$ は $v=2$ で極値をとるとする。このとき、 $p=\myBox{サ}$ であり、 $v\gt 1$ の範囲で $U=0$ となる v の値を $v_0$ とすると、\[ v_0=\frac{\myBox{シ}+\sqrt{\myBox{ス} }}{\myBox{セ} } \]である。 $1\lt v \lt v_0$ の範囲で U は $\myBox{ソ}$ 。 $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　0: つねに増加する
　1: つねに減少する
　2: 正の値のみをとる
　3: 負の値のみをとる
　4: 正と負のどちらの値もとる

　$p=\mybox{サ}$ のとき、 $v\gt 1$ における U の最小値は $\myBox{タチ}$ である。

考え方

(1)は、「接する」を「接点での傾きが同じ」と言い換えて考えていきます。

(2)は、(1)の結果を使いながら考えていきます。 T は積分をしなくても求められることに注意しましょう。

計算量はそんなに多くはないですが、流れにうまく乗れないと深みにはまるかもしれません。無駄な計算をしないように気を付けて考えてきましょう。

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【必答問題】

解答編

問題

　$p\gt 0$ とする。座標平面上の放物線 $y=px^2+qx+r$ を C とし、直線 $y=2x-1$ を l とする。 C は点 $\mathrm{ A }(1,1)$ において l と接しているとする。

(1) q と r を、 p を用いて表そう。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きは $\myBox{ア}$ であることから、 $q=\myBox{イウ}p+\myBox{エ}$ がわかる。さらに、 C は点 A を通ることから、 $r=p-\myBox{オ}$ となる。

解説

C は点 $\mathrm{ A }(1,1)$ において l と接しているので、この点での接線の傾きは等しくなります。直線l の傾きは、 $2$ です。また、 $y=px^2+qx+r$ を微分すると $y'=2px+q$ なので、点 A での接線の傾きは $2p+q$ となります。

よって、
\begin{eqnarray} 2p+q &=& 2 \\[5pt] q &=& -2p+2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

C は点 $\mathrm{ A }(1,1)$ を通るので
\begin{eqnarray} 1 &=& p+q+r \\[5pt] r &=& 1-p-q \\[5pt] &=& 1-p-(-2p+2) \\[5pt] &=& p-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ア：2
イウエ：-22
オ：1

解答編 つづき

問題

(2) $v\gt 1$ とする。放物線 C と直線 l および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 S は\[ S=\frac{p}{\myBox{カ} } \left(v^3 -\myBox{キ}v^2 +\myBox{ク}v -\myBox{ケ}\right) \]である。

解説

放物線は下に凸だから、図は次のようになっています。

C は具体的には決まっていないですが、下に凸なので、直線 l よりも上にあることがわかります。

これより、放物線 C と直線 l と直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 S は
\begin{eqnarray} S &=& \int_1^v \{ px^2+qx+r -(2x-1) \} dx \\[5pt] &=& \int_1^v \{ px^2+(-2p+2)x+(p-1) -2x+1 \} dx \\[5pt] &=& \int_1^v (px^2-2px+p ) dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{p}{3}x^3 -px^2+px \right]_1^v \\[5pt] &=& \frac{p}{3}v^3 -pv^2+pv -\left(\frac{p}{3} -p+p\right) \\[5pt] &=& \frac{p}{3}v^3 -pv^2+pv -\frac{p}{3} \\[5pt] &=& \frac{p}{3} (v^3 -3v^2+3v -1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カキクケ：3331

解答編 つづき

問題

また、 x 軸と l および2直線 $x=1,x=v$ で囲まれた図形の面積 T は、 $T=v^\myBox{コ}-v$ である。

解説

対象の図形は、次のようになります。

これは、台形なので、面積を求めるために積分をする必要はありません。
\begin{eqnarray} T &=& (1+2v-1) \times (v-1) \times \frac{1}{2} \\[5pt] &=& v^2-v \end{eqnarray}と求められます。

解答

コ：2

解答編 つづき

問題

　$U=S-T$ は $v=2$ で極値をとるとする。このとき、 $p=\myBox{サ}$ であり、 $v\gt 1$ の範囲で $U=0$ となる v の値を $v_0$ とすると、\[ v_0=\frac{\myBox{シ}+\sqrt{\myBox{ス} }}{\myBox{セ} } \]である。 $1\lt v \lt v_0$ の範囲で U は $\myBox{ソ}$ 。 $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　0: つねに増加する
　1: つねに減少する
　2: 正の値のみをとる
　3: 負の値のみをとる
　4: 正と負のどちらの値もとる

解説

$U=S-T$ が $v=2$ で極値をとるとすると、 U を v で微分をして $v=2$ とすれば $0$ になります。

\begin{eqnarray} U&=&S-T \\[5pt] &=& S-T \\[5pt] &=& \frac{p}{3} (v^3 -3v^2+3v -1)-v^2+v \end{eqnarray}なので、これを v で微分すると \begin{eqnarray} & & \frac{p}{3} (3v^2 -6v+3)-2v+1 \\[5pt] &=& p(v^2 -2v+1)-2v+1 \end{eqnarray}となります。ここで $v=2$ とすると \begin{eqnarray} p(4-4+1)-4+1 =p-3 \end{eqnarray}となります。これが $0$ となるので、 $p=3$ となることがわかります。

よって
\begin{eqnarray} U &=& S-T \\[5pt] &=& (v^3 -3v^2+3v -1)-v^2+v \\[5pt] &=& v^3 -4v^2+4v -1 \\[5pt] &=& (v-1)(v^2-3v+1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $U=0$ とすると $v=1,\dfrac{3\pm\sqrt{5} }{2}$ となります。このうち、 $v\gt 1$ の範囲なのは、 $v=\dfrac{3+\sqrt{5} }{2}$ だけであることがわかります。

また、 $\dfrac{3-\sqrt{5} }{2} \lt v \lt \dfrac{3+\sqrt{5} }{2}$ の範囲では、 $v^2-3v+1 \lt 0$ となります。 $v\gt 1$ の範囲では、 $v-1 \gt 0$ です。さらに、 $\dfrac{3-\sqrt{5} }{2}\lt 1$ なので、 $1\lt v\lt v_0$ の範囲では、 $v-1 \gt 0$ かつ $v^2-3v+1 \lt 0$ だから、 $U=(v-1)(v^2-3v+1)$ はつねに負の値をとることがわかります。

解答

サ：3
シスセ：352
ソ：3

解答編 つづき

問題

　$p=\mybox{サ}$ のとき、 $v\gt 1$ における U の最小値は $\myBox{タチ}$ である。

解説

先ほどの計算途中から、
\begin{eqnarray} U &=& v^3 -4v^2+4v -1 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られました。これを v で微分すると \begin{eqnarray} 3v^2-8v+4 &=& (3v-2)(v-2) \end{eqnarray}なので、これが $0$ となるのは、 $v=2,\dfrac{2}{3}$ のときであることがわかります。 \begin{array}{c|ccccc} v & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline U' & & – & 0 & + \\ \hline U & & \searrow & & \nearrow \end{array}増減表は上のようになり、 $v=2$ のときが最小値となることがわかります。 $U=v^3 -4v^2+4v -1$ に代入すれば \begin{eqnarray} 8-16+8-1=-1 \end{eqnarray}が最小値であることがわかります。

解答

タチ：-1