センター試験 数学II・数学B 2018年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$p\gt 0$ とする。座標平面上の放物線 $y=px^2+qx+r$ を C とし、直線 $y=2x-1$ を l とする。 C は点 $\mathrm{ A }(1,1)$ において l と接しているとする。

(1) qr を、 p を用いて表そう。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きは $\myBox{ア}$ であることから、 $q=\myBox{イウ}p+\myBox{エ}$ がわかる。さらに、 C は点 A を通ることから、 $r=p-\myBox{オ}$ となる。

(2) $v\gt 1$ とする。放物線 C と直線 l および直線 $x=v$ で囲まれた図形の面積 S は\[ S=\frac{p}{\myBox{カ}} \left(v^3 -\myBox{キ}v^2 +\myBox{ク}v -\myBox{ケ}\right) \]である。また、 x 軸と l および2直線 $x=1,x=v$ で囲まれた図形の面積 T は、 $T=v^\myBox{コ}-v$ である。

 $U=S-T$ は $v=2$ で極値をとるとする。このとき、 $p=\myBox{サ}$ であり、 $v\gt 1$ の範囲で $U=0$ となる v の値を $v_0$ とすると、\[ v_0=\frac{\myBox{シ}+\sqrt{\myBox{ス}}}{\myBox{セ}} \]である。 $1\lt v \lt v_0$ の範囲で U は $\myBox{ソ}$ 。 $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: つねに増加する
 1: つねに減少する
 2: 正の値のみをとる
 3: 負の値のみをとる
 4: 正と負のどちらの値もとる

 $p=\mybox{サ}$ のとき、 $v\gt 1$ における U の最小値は $\myBox{タチ}$ である。

考え方

(1)は、「接する」を「接点での傾きが同じ」と言い換えて考えていきます。

(2)は、(1)の結果を使いながら考えていきます。 T は積分をしなくても求められることに注意しましょう。

計算量はそんなに多くはないですが、流れにうまく乗れないと深みにはまるかもしれません。無駄な計算をしないように気を付けて考えてきましょう。