センター試験 数学II・数学B 2018年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$c を正の定数として、不等式\[ x^{\log_3 x} \geqq \left(\frac{x}{c}\right)^3 \quad \cdots ② \]を考える。

 $3$ を底とする②の両辺の対数をとり、 $t=\log_3 x$ とおくと\[ t^{\myBox{ソ}}-\myBox{タ}t+\mybox{タ}\log_3 c \geqq 0 \quad \cdots ③ \]となる。ただし、対数 $\log_a b$ に対し、 a を底といい、 b を真数という。

 $c=\sqrt[3]{9}$ のとき、②を満たす x の値の範囲を求めよう。③により、\[ t\leqq \myBox{チ},\ t\geqq \myBox{ツ} \]である。さらに、真数の条件を考えて\[ \myBox{テ} \lt x \leqq \myBox{ト}, \ x\geqq \myBox{ナ} \]となる。

 次に、②が $x\gt \mybox{テ}$ の範囲でつねに成り立つような c の値の範囲を求めよう。

 x が $x\gt \mybox{テ}$ の範囲を動くとき、 t のとり得る値の範囲は $\myBox{ニ}$ である。 $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: 正の実数全体
 1: 負の実数全体
 2: 実数全体
 3: 1以外の実数全体

 この範囲の t に対して、②がつねに成り立つための必要十分条件は、 $\log_3 c \geqq \dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ である。すなわち、 $c\geqq \sqrt[\myBox{ノ}]{\myBox{ハヒ}}$ である。

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考え方

対数部分を別の文字で置いて考える、というよくあるパターンです。過去問を解いたことがあれば、よく似た問題に出会っているはずです。

誘導もわかりにくいところは少なく、注意しないといけない点もほとんどありません。ニは、 x に $3,1,\dfrac{1}{3}$ などを入れて考えればわかるでしょう。